Методика изучения показательной и логарифмической функции в курсе средней школы Простейшие показательные

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПМ

Методика изучения показательной и логарифмической функции в курсе средней школы. Простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Реферат

Исполнитель:

Студентка группы М-32 Малайчук А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.

Гомель 2007


Содержание

Введение

1. Образовательные цели изучения темы "Показательная и логарифмическая функции" в средней школе

2. Методика изучения свойств степеней и логарифмов. Введение определения показательной школе показательной функций, ее свойства и их приложения

З. Понятие обратной функции и методика его введения

4. Методика изучения логарифмической функции, ее свойств и их приложения. Производная показательной и логарифмической функции

Заключение

Литература


Введение

Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.

Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени

(где
,
). Можно построить функцию:
,
, область определения которой – множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r1 < α< r2 . Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar 1 и наименьшим среди всех ar 2 , которое можно считать значением aα .


1. Образовательные цели изучения темы "Показательная и логарифмическая функции" в средней школе

Изучение темы "Показательная, логарифмическая и степенная функции" в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:

Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества:

;
;

тождественные преобразования показательных выражений; решение показательных уравнений, неравенств и систем; понятие об обратной функции; логарифмическая функция, ее свойства и график; основные логарифмические тождества:

;
;

тождественные преобразования логарифмических выражений; решение логарифмических уравнений, неравенств и систем; производная показательной функции; число е и натуральный логарифм; производная степенной функции; дифференциальное уравнение радиоактивного распада.

Основная цель – привести в систему и обобщить имеющиеся у учащихся сведения о степени, ознакомить их с показательной, логарифмической и степенной функциями и их свойствами (включая сведения о числе е и натуральных логарифмах); научить решать несложные показательные и логарифмические уравнения, их системы (содержащие также и иррациональные уравнения).

Рассматриваются свойства и графики трех элементарных функций: показательной, логарифмической и степенной. Систематизация свойств указанных функций осуществляется в соответствии с принятой схемой исследования функций. Достаточное внимание должно быть уделено работе с логарифмическими тождествами: тождественные преобразования логарифмических выражений применяются как при изложении теоретических вопросов курса (например, при выводе формулы производной показательной функции), так и при выполнении различного рода упражнений, например, решение логарифмических уравнений и неравенств.

Приведен краткий обзор свойств степенной функции

в зависимости от различных значений показателя р.

Особое внимание уделяется показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности. Рассматриваются примеры различных процессов (например, радиоактивный распад, изменение температуры тела); показывается, что решение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы, является показательная функция. В связи с этим для показательной функции дается формула производной, вывод которой проводится с привлечением интуитивных представлений учащихся.

В ходе изучения свойств показательной, логарифмической и степенной функций учащиеся систематически решают простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства, а также иррациональные уравнения. По мере закрепления соответствующих умений целесообразно также предлагать им уравнения и неравенства, сводящиеся к простейшим в результате несложных тождественных преобразований.


2. Методика изучения свойств степеней и логарифмов. Введение определения показательной школе показательной функций, ее свойства и их приложения

Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.

Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени

(где
,
). Можно построить функцию:
,
, область определения которой – множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r1 < α< r2 . Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar 1 и наименьшим среди всех ar 2 , которое можно считать значением aα .

Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=ax (

,
), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(ax )=R; E(ax )=RТ ; ax возрастает при a>1 и ax убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.

В качестве приложения свойств показательной функции рассматриваются решения простейших показательных уравнений и неравенств.

Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax =b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают loga b, т.е. alogab =b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом

(
) и любых положительных x и y, выполнены равенства:

1. loga 1=0

2. loga a=1

3. loga xy= loga x+ loga y

4. loga x/y= loga x- loga y

5. loga xp = ploga x

При доказательстве используется основное логарифмическое тождество:

x=alogax ; y=alogay

Рассмотрим доказательство 3:

xy=alogax a logay =alogax+logay т.е. xy=alogax+logay =alogaxy , ч.т.д.

Основные свойства логарифма широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы.

№497 (Алгебра и начала анализа, 10-11)

Найти

, если:


т.е. равны основания логарифмов, равны значения логарифмов

равны логарифмируемые выражения. Этот прием рассуждения в дальнейшем будет применим при решении простейших логарифмических уравнений.

З. Понятие обратной функции и методика его введения

Наиболее доступным введение логарифмической функции можно было бы провести после введения понятия обратной функции. Однако методика изложения темы об обратной функции сложна из-за сложных самого материала. Тема "Понятие об обратной функции" приведена в учебнике "Алгебры и начала анализа. 10-11" и рассчитана на необязательное изучение. В эту тему входят:

1) обратимость функций, связанное с решением следующих задач: вычислить значение функции

по данному значению аргумента
и найти значение аргументов, при которых функция
принимает данное значение
. Вторая задача не всегда имеет единственное решение (например, для
,
). Функция принимает каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой, т.е. если
обратима, а число
принадлежит
, то уравнения
имеет решение и притом только одно.

2) Обратная функция – как новое понятие – поясняется на конкретных примерах.

Определение. Пусть

- произвольная обратимая функция. Для любого числа
из ее области значений
имеется в точности одно значение
, принадлежащее области определения
, такое, что:
. Поставив в соответствие каждому
это значение
, получим новую функцию
с областью определения
и областью значений
.

Задача. Найти функцию, обратную функции

Покажем, что уравнения

при любом значении
имеет единственное решение
.

, где
.

Если вспомнить область значения данной функции

, то получаем положительный ответ. Таким образом, наша функция обратима и обратная ей функция

Алгоритм решения таких задач: найти

и
данной функции
; поменять местами в формуле переменные
, т.е. получить формулу
и из полученного равенства выразить
через
.

В более сложных случаях (когда функция не является обратимой на всей области определения) следует пользоваться теоремой: об обратной функции:

Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (или убывающей).

Задача. Найти функции, обратные функции y=x2 -3x+2.

x=y2 -3y+2=y2 -2y*3/2+9/4-9/4+2=(y-3/2)2 -ј => (y-3/2)2 =x+1/4, где x≥-1/4 => y1 =3/2+(x+1/4)1/2 и y2 =3/2-(x+1/4)1/2 .

D(y1 )= D(y2 )=E(x2 -3x+2)=[-1/4;+∞)

Для нахождения областей значений обратных функций обратимся к графику, используя следующее свойство:

Графики функции f и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой y=x.

x2 -3x+2=0 => x1 =1; x2 =2

xв =3/2; yв =-1/4

Из графика видно, что

E(y1 )=[3/2;+∞), E(y2 )=(-∞;3/2].


4. Методика изучения логарифмической функции, ее свойств и их приложения. Производная показательной и логарифмической функции

Методика изучения логарифмической функции

Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой

называют логарифмической функцией с основанием
. Основные свойства выводится из свойств показательной функции:

1.

,

т.к. при решении уравнения

,

т.е. любое положительное число

имеет логарифм по основанию
.

2.

,

т.к. по определению логарифма любого действительного числа

справедливо равенство:

,

т.е. функции вида

принимает значение
в точке
.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).

Покажем, что

при a>1 возрастает. Пусть
и
, надо доказать, что:
. Допустим противное, т.е. что
. Т.к. показательная функция
при a>1 возрастает, то из неравенства
следует:
, что противоречит выбору
. Следовательно:
и функция
при a>1 – возрастает.

Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.

Производная показательной и логарифмической функции

Приступая к изучению производной показательной и логарифмической функций, учащиеся знакомятся с новым для них числом e. Необходимость появления этого числа связывается с решением задачи о касательной к графику показательной функции, с угловым коэффициентом, равным 1, т.е. без доказательства принимается следующее утверждение:

существует такое число, больше 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция y=ex в точке 0 имеет производную, равную 1, т.е. (eΔx -1)/ Δx - при Δx-0.

Теорема: функция eж дифференцируема в каждой точке области определения и (ex )'= ex . Опр.: Натуральным логарифмом называется логарифмом по основанию е:

ln x = loge x

Верно соотношение:

eln a =a => ax =(eln a )x =ex ln a .

Теорема: показательная функция аx дифференцируема в каждой точке области определения, и:


(ax )'=ax ln a

Дифференцируемость логарифмической функции следует из того, что: графики у=ах и у=log a x симметричны относительно у=х. Показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке, а это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения.

Производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле: ln'x=1/x.

x=eln x => x'=(eln x )', n/r/ x'=1 => (eln x )'=1 => eln x (ln x)'=1 => ln'x=1/eln x =1/x.


Заключение

Изучение темы "Показательная, логарифмическая и степенная функции" в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:

Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества:

;
;

тождественные преобразования показательных выражений; решение показательных уравнений, неравенств и систем; понятие об обратной функции; логарифмическая функция, ее свойства и график; основные логарифмические тождества:

;
;

тождественные преобразования логарифмических выражений; решение логарифмических уравнений, неравенств и систем; производная показательной функции; число е и натуральный логарифм; производная степенной функции; дифференциальное уравнение радиоактивного распада.


Литература

1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.

2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.

3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.

4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.

5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.

6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.

СКАЧАТЬ ДОКУМЕНТ

Все материалы в разделе "Педагогика"

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]
перед публикацией все комментарии рассматриваются модератором сайта - спам опубликован не будет

Ваше имя:

Комментарий

Хотите опубликовать свою статью или создать цикл из статей и лекций?
Это очень просто – нужна только регистрация на сайте.

Copyright © MirZnanii.com 2015-2018. All rigths reserved.