Тождественные преобразования выражений и методика обучения учащихся их выполнению (стр. 1 из 5)
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра МПМ
Реферат
Тождественные преобразования выражений и методика обучения учащихся их выполнению
Исполнитель:
Студентка Стародубова А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Введение
1 Основные типы преобразований и этапы их изучения. Этапы освоения применения преобразований
2 Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований
Заключение
Литература
Введение
Простейшие преобразования выражений и формул, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся в начальной школе и 5 и 6 классах. Формирование умений и навыков выполнения преобразований происходит в курсе алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования.
1. Основные типы преобразований и этапы их изучения. Этапы освоения применения преобразований
1. Начала алгебры
Используется нерасчлененная система преобразований, представленная правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы. Цель – достичь беглости в выполнении заданий на решение простейших уравнений, упрощение формул, задающих функции, в рациональном проведении вычислений с опорой на свойства действий.
Типичные примеры:
Решить уравнения:
а)
; б) 
; в) 
.Тождественное преобразование (а); равносильное и тождественное (б).
2. Формирование навыков применения конкретных видов преобразований
Выводы: формулы сокращенного умножения; преобразования, связанные с возведением в степень; преобразования, связанные с различными классами элементарных функций.
Организация целостной системы преобразований (синтез)
Цель – формирование гибкого и мощного аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий. Переход к этому этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже известного материала усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований к ранее изученным видам добавляют преобразования тригонометрических выражений. Все эти преобразования можно назвать “алгебраическими” к “аналитическим” преобразованиям можно отнести те из них, в основе которых лежат правила дифференцирования и интегрирования и преобразования выражений, содержащих предельные переходы. Отличие этого типа – в характере множества, которое пробегают переменные в тождествах (определенные множества функций).
Изучаемые тождества подразделяются на два класса:
I – тождества сокращенного умножения, справедливые в
коммутативном кольце и тождества 
, 
,справедливого в
поле.II – тождества, связывающие арифметические операции и основные элементарные функции.
2 Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований
Основной принцип организации
системы заданий – предъявление их от простого к сложному.Цикл упражнений – соединение в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. При изучении тождественных преобразований цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях. Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служат учебным материалом для нескольких идущих подряд уроков, объединенных одной темой.
Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнения здесь разбросаны по различным темам.
Описанные структуры цикла относятся к этапу формирования навыков применения конкретных преобразований.
На этапе синтеза циклы изменяются, происходит объединение групп заданий в сторону усложнения и слияния циклов, относящихся к различным тождествам, что способствует повышению роли действий по распознаванию применимости того или иного тождества.
Пример.
Цикл заданий для тождества:
.
I группа заданий:
а) представить в виде произведения:
.б) Проверить верность равенства:
.в) Раскрыть скобки в выражении:
.г) Вычислить:
.д) Разложить на множители:
.е) упростить выражение:
.Ученики только что ознакомились с формулировкой тождества, его записью в виде тождества, доказательством.
Задание а) связано с фиксированием структуры изучаемого тождества, с установлением связи с числовыми множествами (сопоставление знаковых структур тождества и преобразуемого выражения; замещение буквы числом в тождестве). В последнем примере еще предстоит выполнить приведение его к изучаемому виду. В следующих примерах (д и ж) происходит усложнение, вызванное прикладной ролью тождества и усложнением знаковой структуры.
Задания типа б) направлены на формирование навыков замены
на 
. Аналогична роль задания в).Примеры типа г), в которых требуется выбрать одно из направлений преобразования, завершает развитие этой идеи.
Задания I группы ориентированы на усвоение структуры тождества, операции замещения в простейших, принципиально наиболее важных случаях, и представления об обратимости преобразований, осуществляемых тождеством. Очень важное значение имеет также обогащение языковых средств, показывающих различные аспекты тождества. Представление об этих аспектах дают тексты заданий.
II группа заданий.
ж) Используя тождество
при 
, разложить на множители многочлен 
.з) Исключить иррациональность в знаменателе дроби
.и) Доказать что если
- нечетное число, то 
делится на 4.к) Функция задана аналитическим выражением
.Избавиться от знака модуля, рассмотрев два случая:
, 
.л) Решить уравнение
.Эти задания направлены на возможно более полное использование и учет специфики именно данного тождества, предполагают сформированность навыков использования изучаемого тождества для разности квадратов. Цель – углубить понимание тождества за счет рассмотрения разнообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с использованием материала, относящегося к другим темам курса математики.
