Методика преподавания темы Тригонометрические функции в курсе алгебры и начал анализа (стр. 7 из 9)
4) На числовой окружности укажите точку М, координаты которой удовлетворяют данным условиям, и найдите все числа, которым соответствует данная точка: а) у=-1/2, х<0 б) х=-Ö3/2, у>0
5) Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют. а) х<1/2 б) х³-Ö3/2 в) у>Ö2/2 г) у £0.
6) Вычислите синус t и косинус t, если t = 0, π/2, -π/4, -5π/3, 23π/6.
7) Определите знак числа а) sin(4π/7) б) cos(-3π/8) в) sin(-12) г) cos5 д) sin(-14π/9)*cos(π/8).
8) Сравните: а) sin 2 и cos 2 б) sin 3 и sin( –3) в) cos 6 и sin 1.
9)
Вычислите: cos(π +a)*cos (-a-π/2) 
(sin(-a)* sin (π/2-a))Краткий анализ урока.
Несмотря на то, что ответы на многие вопросы были известны учащимся, активность проявляли не все. Многие были неуверены в правильности своих мыслей, поэтому некоторых учеников приходилось спрашивать поименно. Тем не менее, к концу урока активность возросла, да и количество правильных ответов тоже увеличилось. Результаты небольшой проверочной работы, проведенной на следующем уроке говорят сами за себя: из 23 учащихся, присутствовавших на уроке, 18 получили 4 и 5. Поэтому я считаю, что данное занятие прошло довольно неплохо.
Урок № 2. Функция у= sin х, ее свойства и график.
Образовательные цели урока:
1) Изучить свойства функции у= sin х.
2) Сформировать у учащихся умение изображать график этой функции и по графику находить область определения и область значений, промежутки возрастания и убывания, нули, наибольшее и наименьшее значения.
Форма занятия.
Так как многие свойства синуса учащимся известны, то лучше всего в качестве формы данного урока избрать беседу.
Содержание основной части урока.
1) Ввести функцию у= sin х. Обосновать, что это действительно функция.
2) Установить ее область определения и область значений. Обосновать.
(подробнее про обоснования всех свойств см. в §3. «Методика преподавания темы: «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа»)
3) Сформулировать и обосновать с помощью тригонометрической окружности такие свойства функции у=sinх как промежутки возрастания и убывания, нули, нечетность, ограниченность, а также наибольшее и наименьшее значения.
4) Воспользовавшись данными свойствами и равенством sin(x+2p)=sin(x), построить график и сообщить, что он называется синусоидой.
5) Еще раз проиллюстрировать все свойства данной функции, но уже с помощью графика.
Практическая часть.
1) Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции у=sin х точка с координатами: а) (-π/2;1) б) (π/2;1/2) в) (π;1) г) (0;0)?
2) Используя график функции f(х), где f(х)=sin х, найдите: а)f(π) б) f(3π/2) в) f(-π/2) г) f(23π) д) f(-15π/2).
3) Отметьте на графике функции у=sin х и назовите все точки, в которых значение функции равно а) Ѕ б) -Ö3/2 в) Ö2/2 г) –1 д) 10.
4) Найдите все значения переменной х и отметьте их на числовой прямой, при которых функция у=sin х принимает значения: а) большие Ѕ б) меньшие Ö2/2 в) большие 0, но меньшие Ö3/2 г) меньшие –1, но большие –2.
5) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=sin х а) на отрезке [π/4, 2π/3]; б) на луче [π/3, +¥]; в) на интервале (-3π/2,3π/4).
6) Сравните а) sin 0 и sin(-3); б) sin 2 и sin е; в) sin (-4) и sin 5; г) sin 8,3 и sin 9 д) sin 315 и sin 317 е) sin (–630) и sin (–631).
Краткий анализ урока.
Урок прошел хорошо. Ребята работали активно, так как практически все задания решались фронтально и полуустно за исключением 4 в) и 6 г), д) и е). Цели, поставленные на данный урок, были реализованы. По результатам 7-минутной проверочной работы, которая проводилась на следующем уроке, можно сделать следующие выводы: 1. Учащиеся научились строить график функции у=sin х. 2. Большинство из них, пользуясь схемой анализа, могли свободно перечислить все свойства этой функции. Неплохо решали задачи, подобные тем, что были разобраны. Наибольшее затруднение вызвали задачи подобные 5 в) и 6 е) и д). Хотя, в общем, с работой справились не плохо.
Урок № 3. Функция у= sin х, ее свойства и график.
Образовательные цели урока:
1) Способствовать формированию навыков применения свойств функции у= sin х при исследовании функций, для которых она является одной из составляющих.
2) Научить применять известные ранее правила преобразования графиков функций к функции у= sin х.
3) Выработать у учащихся навыки решения некоторых уравнений, содержащих синус, графическим способом.
Форма занятия.
Фронтальное коллективное и самостоятельное решение задач.
Содержание основной части урока.
1) Постройте и прочитайте график функции у= f (х), где
х2 , если х < 0,f(х)=
sin х, если х ³0.
Вычислите f(p), f(p/3), f(-2), f(-p/2), f(3,14).
2) Постройте график функции у= f (х), где
х-2p, если х < 0,
f(х)= sin х,если -2p< х < 0,Öх, если х ³0.
Для данной функции найдите область определения, область значений, промежутки возрастания и убывания, нули и промежутки знакопостоянства.
3) (Для самостоятельно решения с последующей проверкой.)
Постройте график функции у= f (х), где
-(х+p)2, если х < 0,
f(х)= sin х,если -p< х <p,(х-p)2, если х ³0.
Запишите все известные вам свойства данной функции.
4) Постройте график функции у= sin(х+p/4). По графику определите нули данной функции и промежутки знакопостоянства.
5) Постройте график функции у = sin(х-2p/3)+2. По графику определите все известные вам свойства этой функции.
6) Решите графически уравнения а) sin(х) =p+х б) sin(х) =3х в) sin(х) +(х+p/2)2 +1=0
7) (Для самостоятельно решения с последующей проверкой)
а) sin(х+4p/3)-1= (х-p)2 б) -sin(х-p/6)+1,5 - ((х-4p/6)2 +0,5)=0
Краткий анализ урока.
На данном уроке учащиеся научились исследовать кусочно-заданные функции, содержащие функцию у= sin х как одну из своих составляющих, научились применять известные ранее правила преобразования графиков функций к функции у=sinх, а также графически решать некоторые тригонометрические уравнения. Об этом можно судить исходя из результатов проделанной учащимися домашней работы, а также по последующему применению полученных умений при решении подобных задач для функции у= соs х. Поэтому можно сделать вывод о том, что цели данного урока были реализованы. Что касается затруднений, то наибольшие затруднения вызвали задания, связанные с преобразованием графиков. Часто учащиеся путались в вопросе - когда в какую сторону переносить график. Но в целом урок прошел неплохо.
Заключение.
Итак, приняв во внимание описанные в первом параграфе общие положения, касающиеся изучения тригонометрических функций, мы проанализировали наиболее распространенные учебники с точки зрения изложения данной темы (см. § 2) и обобщили полученные результаты в §3. Используя опыт практического преподавания, описанный в §4 можно сделать следующие выводы:
1. Тригонометрические функции являются наиболее удобным и наглядный средством для обучения учащихся исследованию функций.
2. Преподавание темы «Тригонометрические функции» требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработки эффективной методики.
3. Изучение тригонометрических функций будет более эффективным, в том случае когда:
-перед введением тригонометрических функций проведена достаточно широкая пропедевтическая работа с числовой окружностью;
-числовая окружность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент декартовой системы координат;
-построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;
-каждое свойство функций четко обоснованно и все они сведены в систему.
4. Наиболее удачным как с методической, так и с содержательной точек зрения является учебник [16].
Библиографический список:
1. Алексеев, А. Тригонометрические подстановки [Текст] / Алексеев А., Курляндчик Л. // Квант. – 1995. - №2. –с. 40 – 42.
2. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11[Текст] / Ш.А. Алимов // Учебник - Москва: Просвещение, 2001.
3. Башмаков, Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /Башмаков //Учебник - Москва: Просвещение, 1992.
4. Бескин, Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания [Текст] / Бескин Н.М. - Москва: Учпедгиз, 1950.
5. Гилемханов, Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В [Текст] / Гилемханов Р.Г. //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.
6. Горнштейн, П.И. Тригонометрия помогает алгебре [Текст] / Горнштейн П.И. // Квант. 1989-№5 – с. 68-70.
7. Дорофеев, Г. Периодичность и не периодичность функций [Текст] / Дорофеев Г., Розов Н. //Квант. 1977- №1- с.43-48.
8. Зарецкий, В.И. Изучение тригонометрических функций в средней школе [Текст] / Зарецкий В.И. - Минск: Народная асвета, 1970.
9. Земляков, А. Периодические функции [Текст] / Земляков А., Ивлев Б. // Квант. 1976-№12- с. 34-39.
10. Калинин, С.И. Задачи и упражнения по началам математического анализа [Текст] / Калинин С.И., Канин Е.С., Маянская Г.М., Ончукова Л.В., Подгорная И.И., Фалелеева С.А. - Киров: ВГПУ, 1997.
11. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /А.Н. Колмогоров// Учебник - Москва: Просвещение, 1999.
12. Крамор, В.С. Тригонометрические функции [Текст] / Крамор В.С., Михайлов П.А. – Москва: Просвещение, 1979.
13. Лященко, Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст] /Лященко Е.И. – Москва: Просвещение, 1988.
14. Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе (Частная методика). [Текст] / Мишин, В.И. - Москва: Просвещение, 1987.
15. Мордкович, А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе [Текст] / Мордкович А.Г. //Математика в школе. 2002 - № 6 – с.32-38.