Смекни!
smekni.com

Методика преподавания темы Тригонометрические функции в курсе алгебры и начал анализа (стр. 8 из 9)

16. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /А.Г. Мордкович// Учебник- Москва: Мнемозина, 2003.

17. Панчишкин, А.А. Тригонометрические функции в задачах [Текст] / Панчишкин А.А., Шавгулидзе Е.Т. - Москва: Наука, 1986.

18. Раббот, Ж. Тригонометрические функции [Текст] / Раббот Ж. // Квант. 1972- №5- с. 36-38.

19. Синакевич, С.В. Тригонометрические функции [Текст] / Синакевич С.В. - Москва: Учпедгиз, 1959.

20. Смирнова, И.М. Необычный способ получения синусоиды [Текст] / Смирнова И.М. // Математика в школе. 1993-№3- с.56-58.

21. Цукарь, А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии [Текст] / Цукарь А.Я. //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.

22. Шаталов, В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии [Текст] / Шаталов В.Ф. - Москва: Новая школа, 1993.

23. Шенфельд, Х. Что общего между заходом солнца и функцией y=sin х [Текст] /Шенфельд Х. // Математика в школе. 1993-№2- с.75-77.

Приложение

Факультатив «Тригонометрия помогает алгебре».

Известно, что «тот или иной материал усваивается школьниками не тогда, когда этот материал является целью обучения, а тогда, когда он становится средством для решения других задач»[10]. Поэтому целесообразно показать учащимся то, как можно применять свойства тригонометрических функций и тригонометрические тождества при решении, например, алгебраических задач.

Цели:

1) Провести межпредметные связи между тригонометрией и алгеброй.

2) Способствовать формированию умений решать некоторые виды уравнений алгебры с помощью тригонометрических подстановок.

Место изучения.

Этот факультатив желательно проводить после того, как изучены все разделы тригонометрии.

Ход факультатива:

Учащимся предлагается попробовать решить уравнение

самостоятельно. Попробовав выполнить стандартное возведение в квадрат обеих частей, учащиеся натыкаются на уравнение 6-ой степени, решение которых в школьном курсе не рассматривается. Обратив внимание учащихся, на то, что областью допустимых значений переменной данного уравнения является отрезок [-1;1], учитель предлагает вспомнить изученные функции, областью значений которых является данный отрезок. После чего делается вывод: если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной x определяются неравенством |x|≤1, то удобны замены х=sinα, α
, или х=cosα, α
, причем какую из них выбрать, зависит от конкретной задачи.

Учащиеся совместно с учителем прорешивают данное уравнение.

«Поскольку функция 4х3-3х существует при любых значениях х, найдем область определения функции f(x)=

: 1- х2 ≥0, значит х
. Введем замену х=cosα. Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция косинус принимает все свои значения, например отрезок
.

Подставим х=cosα в уравнение, получим

Так как α

, то sinα ≥0 и можно опустить модуль:

Условию α

удовлетворяют три значения α1=
, α2=
3=
.

x1=cos α1=cos

=
,

x2=cos α2=cos

=-sin
=
=

x3= cos α3=cos

=-cos
=
.

Ответ: x1=

, x2=
, x3=
.

Пример 2. Сколько корней на отрезке [0;1] имеет уравнение

При отсутствии лишнего времени решение лучше вынести в качестве домашнего задания. Если уровень подготовки класса не очень высок, то учитель может сделать подсказку «Замена х=cosα, α

ставит в соответствие каждому значению х на [0;1] ровно одно значение α
. Значит, число решений исходного уравнения на [0;1] равно числу решений соответствующего уравнения на
, причем так как х¹0 и х¹1, то можно взять α
». Уравнение примет вид

Условию α

удовлетворяют четыре значения α1=
, α2=
, α3=
, α4=
.

Ответ: уравнение на отрезке [0;1] имеет ровно четыре корня.

Пример 3. Решить систему уравнений

Внимательно посмотрев на первое уравнение системы, учащиеся сами (или с помощью учителя) замечают, что оно очень похоже на основное тригонометрическое тождество и делают вывод: если в задаче встречается равенство х2+y2=1, то часто бывает полезно сделать замену х= sinα, y=cosα, α

, так как числа, сумма квадратов которых равна 1, это синус и косинус одного и того же числа. Дальнейшее решение системы не вызывает затруднений и может быть произведено учащимися самостоятельно.

Пусть х= sinα, y= cosα, α

Второе уравнение системы примет вид

Условию α

удовлетворяют четыре значения α1=
, α2=
, α3=
, α4=
.

х1=

y1=

х2=

y2=

х3=

y3=

х4=

y4=

Ответ: х=

, y=
; x=
, y=
; x=
,

y=

; x=
, y=
.