Методика преподавания темы Тригонометрические функции в курсе алгебры и начал анализа (стр. 9 из 9)

В качестве домашнего задания учащимся можно предложить решить задачу:

Числа a, b, c, d таковы, что a²+b²=1, c²+d²=1, ac+bd=0. Чему равно ab+cd?

Решение может выглядеть следующим образом. «Пусть а= sinα, b= cosα, α

, c=sinβ, d=cosβ, β

. Уравнение ac+bd=0 перепишем в виде

Преобразуем выражение ab+cd:

Так как cos(α- β)=0, то sin(α +β)*cos(α - β)=0, a значит ab+cd=0.

Ответ: ab+cd=0»

После этого учитель подводит учащихся к вопросу: «Можно ли применять тригонометрические подстановки для решения уравнений, в область допустимых значений которых входят все действительные числа?»

Можно, но в случаях, когда переменная может принимать различные значения, используются замены x=tgα, α

и x=ctgα, α .

Пример 5. Доказать, что при любых действительных х и у

.

Замечание. Желательно обсудить с учащимися лишь необходимую замену. Все остальное они в силах проделать самостоятельно.

Положим

, где . Тогда

Так как все значения выражения

лежат в промежутке [-1/2;1/2], следовательно, и все значения исходного выражения лежат в этом же промежутке. Что и требовалось доказать.

* более подробно эти вопросы изложены в параграфе 3

1) Напомним, что обучение по учебнику [2] предполагает изучение тригонометрических уравнений в конце 10-го класса, а изучение тригонометрических функций только в начале 11го.