Заметим, что в конце курса 9-ого класса учащиеся также решают простейшие тригонометрические уравнения.
В учебниках [9], [10], [39]определение понятия уравнения вводится на интуитивном уровне (через пример) в 6-м классе в главе рациональные числа. Определение понятия корня и решения уравнения аналогично определениям, данным другими авторами. Далее приведена примитивная система задач, где в основном присутствуют упражнения на решение по образцу и упражнения на составление уравнений при решении текстовых задач.
Далее, в учебнике [10] также на интуитивном уровне вводится определение понятия уравнения первой степени с одним неизвестным. Заметим, что в определении понятия решить уравнение не оговаривается тот факт, что корней может и не быть. Определение понятия линейного уравнения следующее: «Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение, левая и правая части которого есть многочлены первой степени относительно х или числа».Кроме того, автор выделяет еще одно свойство, необходимое при решении уравнений, – приведение подобных членов, которое в учебниках других авторов является методом решения линейных уравнений. Далее учащиеся решают простейшие линейные уравнения с одним неизвестным, текстовые задачи на составление уравнений, системы линейных уравнений с двумя неизвестными и задачи на составление данных систем. Заметим, что автор включает в систему задач по теме «Уравнения» однородные диофантовы уравнения и предлагает более простой способ решения систем уравнений – метод Гаусса.
В 8-м классе учащиеся приобретают навыки решения квадратных (неполных, общего вида, приведенных) и рациональных уравнений (биквадратных; «распадающихся»; уравнения, одна часть которого алгебраическая дробь, а другая – нуль) и применяют полученные знания при решении задач. Помимо данных уравнений изучают комплексные уравнения, уравнения прямой и окружности. В конце курса 8-ого класса учащиеся решают системы рациональных уравнений первой и второй степени, причем, с тремя неизвестными, а также решают задачи, составляя системы уравнений. Отметим, что в качестве способа решения систем уравнений активно используется графический метод.
В курс 9-ого класса включены лишь упражнения на решение различных видов уравнений, никаких новых сведений о линии уравнений учащиеся не получают.
Таким образом, материал в учебниках [9], [10], [39] расположен так, что отдельные темы программы изучаются один раз и в полном объеме, чтобы потом к ним не возвращаться в теоретической части учебника. Дальнейшее закрепление и повторение, а иногда и развитие изученного ведется через линию упражнений. Изложение материала связное – подряд излагаются большие темы, нет мелких вопросов, нарушающих логику изложения тем. Основной методический принцип, положенный в основу изложения теоретического материала и организации системы упражнений, заключается в том, что ученик за один раз должен преодолевать не более одной трудности. Поэтому каждое новое понятие формируется, каждое новое умение отрабатывается сначала по отдельности, потом трудности совмещаются. Сложность заданий в каждом пункте нарастает линейно. Упражнения выстроены по нарастанию сложности и не перебиваются упражнениями на другие темы. Важную роль в формировании первоначальных представлений о зарождении и развитии науки играют исторические сведения, завершающие каждую главу учебника. Учебники [9], [10], [39] нацелены на повышенный уровень математической подготовки учащихся, но их можно использовать в классах с обычной программой по математике.
Анализ учебников для классов с углубленным изучением математики
Проанализируем учебники [7], [8], [16], [17], [11], [12], так как данные учебники предназначены для классов с углубленным изучением математики и в них описаны иные подходы к изучению материала и значительно расширено содержание.
В учебнике [7]содержатся18параграфов, охватывающих все основные темы общеобразовательного курса алгебры в 7-м классе, и ряд дополнительных вопросов. Учебник дает возможность достаточно обстоятельно рассмотреть теоретические вопросы и предложить учащимся широкий круг упражнений, различных по уровню сложности. Что касается конкретного материала по теме «Уравнения», то он достаточно объемный и содержит упражнения различной степени сложности. В данном курсе изучаются уравнение с одной переменной и его корни, равносильные уравнения, линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным, уравнения с модулем и задачи на составление уравнений.
Далее, после изучения глав «Разложение многочленов на множители» и «Формулы сокращенного умножения», продолжается изучение линии уравнений (несмотря на то, что упражнения на решение уравнений различной степени сложности в этих главах также присутствуют) в главе «Системы линейных уравнений». В данной главе для решения предлагаются упражнения на решение уравнений с двумя переменными в целых числах, на решение систем уравнений различными способами (в том числе системы уравнений с тремя переменными) и задачи на составление уравнений.
В учебнике [8]в отличие от учебника [7] тема «Уравнения» изложена в отдельной главе «Квадратные уравнения», которая изучается в конце курса 8-ого класса. В данной главе также как и в учебниках для классов общеобразовательных учреждений изложен теоретический материал о квадратных уравнениях и его корнях, о решении дробно-рациональных уравнений. Однако изложение достаточно обстоятельно и представлен большой набор разнообразных по тематике и уровню сложности упражнений (например, упражнения на решение параметрических уравнений, уравнений с модулем, на применение обратной теоремы Виета, упражнения на доказательство).
Отметим, что в тему «Квадратные уравнения» дополнительно включен вопрос о выражениях, симметрических относительно корней квадратного уравнения.
Учебник [16]отличается, прежде всего, более углубленным изучением соответствующих вопросов курса (изъяты слишком простые примеры и рассуждения, добавлены более сложные и интересные примеры). Материал по теме исследования написан в русле той концепции, которая использована в учебнике [14],с соблюдением практически того же порядка следования параграфов, но с естественным расширением материала. По оглавлению сразу можно выделить дополнительный материал: алгоритм извлечения квадратного корня, уравнения высших степеней, уравнения с модулями и параметрами. Система задач, также как в учебнике [8], разнообразна по содержанию и уровню сложности.
Учебник [17]является продолжением учебника[16]и написан на базе учебника [15].Единственное отличие заключается во включении в курс дополнительного материала по теме исследования: задачи с параметрами, специальные методы решения систем уравнений (включая системы с тремя, четырьмя переменными), однородные, иррациональные, симметрические системы, системы с модулями. Соответственно и система задач значительно шире.
В учебник [11]включены упражнения на решение дробно-рациональных и кубических уравнений, неопределенных уравнений первой степени, используется метод разложения на множители, формулы сокращенного умножения, метод выделения полного квадрата, основное свойство пропорции, наибольший общий делитель коэффициентов и так далее. Система задач включает уравнения более высокого порядка, так как учащиеся при выполнении заданий могут пользоваться теоремой о делении многочлена на многочлен с остатком, теоремой Безу о корнях многочлена, теоремой о симметрических многочленах от двух переменных. Соответственно и система задач более сложная и трудоемкая. Несмотря на то, что уравнения различной степени сложности включены в каждую тему, рассматриваемую в данном учебнике, они находят свое отражение в отдельной главе «Квадратные уравнения. Системы нелинейных уравнений». В данной главе вводится определение понятия квадратного и приведенного уравнения, корней уравнения, формула нахождения корней через дискриминант и по теореме Виета (в том числе и для многочленов высших степеней). Отметим, что система задач включает упражнения на составление уравнений по известным корням и их кратности, упражнения на решение уравнений с параметрами, упражнения на доказательство, упражнения на нахождение суммы, произведения, разности корней уравнения, не решая данное уравнение, на определение знака корней, задачи на составление уравнений.
Отметим, что в курсе алгебры 8-ого класса учащиеся учатся решать возвратные и однородные уравнения, симметрические системы уравнений и системы уравнений с параметрами и модулем. Помимо методов, известных из курса алгебры общеобразовательной школы, учащиеся при решении уравнений часто прибегают к использованию графического метода решения уравнений.
В учебнике [12] в систему задач включены иррациональные, показательные уравнения, в том числе с модулем. Достаточно много упражнений на решение уравнений включено в главу «Элементы теории множеств», но также имеется глава, в которой находит свое отражение материал по теме «Уравнения» – «Уравнения, неравенства и их системы». Заметим, что в данной главе, на функциональном уровне даны общее определение уравнения с одной переменной и его корня, определение целого рационального уравнения и методы решения таких уравнений (разложение на множители, введение новой переменной и прочие), определение дробно-рационального уравнения, определение равносильных уравнений. Также как и в курсе алгебры общеобразовательной школы вводятся следствия из уравнений.