Школьная математическая задача, как и любая задача, несет в себе две информации: субъективную и объективную.
Это положение позволило рассматривать задачу как сложный объект, имеющий внешнюю (информационную) и внутреннюю структуру. В связи с этим многие авторы рассматривают задачу как систему (системный подход) (Ю.М.Колягин, В.И.Крупич,Е.И.Машбиц и другие).
С точки зрения информационной структуры задачу можно рассматривать как замкнутую систему S = (A, С, R, D, В), где
А – условия (условие) задачи, то есть данные и отношения между ними;
В – требование задачи, то есть искомые (искомое) и отношения между ними;
С – базис решения задачи, то есть теоретическая и практическая основа, необходимая для обоснования решения;
D – способ, определяющий процесс решения задачи, то есть способ действия по преобразованию условий (условия) задачи для нахождения искомого;
R - основное отношение в системе отношений между данными и искомым.
Информационная структура задачи позволяет различать задачи по степени их психологической сложности (проблемности), как одного из основных компонентов трудности.
Трудность задачи есть психолого-дидактическая категория и представляет совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности, таких как степень ее новизны, интеллектуальные возможности учащегося, его потребности и интересы, опыт решения задач, уровень владения интеллектуальными и практическими умениями и др. Однако основными компонентами трудности задачи как объекта являются степень ее проблемности и сложности.
Сложность задачи является объективной характеристикой, не зависящей от субъекта. Она определяется внутренней структурой задачи.
Хотя выделен общий механизм построения внутренней структуры следующих задач школьного курса математики (текстовые задачи, дробно-рациональные уравнения, геометрические задачи на вычисление) единого подхода к пониманию внутренней структуры задачи не существует.
Например, А.М.Сохор при выявлении внутренней структуры задачи опирается на характер внутренних отношений (связей, зависимостей) между данными и искомыми величинами.
Е.И.Лященко, Г.Н.Васильева выявляют структуру задачи, исходя из структуры ее решения.
Школьная математическая задача содержит некоторое множество отношений. Например, это отношения между данными, между искомыми, то есть между условием и требованием задачи. В этом множестве отношений на основе обобщения можно выделить главное, ведущее отношение, которое принято называть основным. Основное отношение в общем случае выражает функциональную зависимость между величинами, входящими в условие и требование задачи, и реализовано на предметной области задачи.
Выявление основного отношения в процессе анализа задачи является необходимым условием построения методики обучения решению задач на основе реализации системного типа ориентировки учащихся в этом процессе, а также выявления внутренней структуры задачи, ее элементов.
СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД К ОБЪЕКТУ ИССЛЕДОВАНИЯ.
Характерной чертой современной науки является направленность научного познания на управление в природе и обществе. В связи с этим значительное место в научных исследованиях стала занимать общенаучная методология системных исследований.
Обобщенной научной формой ее выражения является системный подход к объекту исследования. Основой этого подхода является философский принцип системности, сущность которого состоит в том, что объект исследования рассматривается как нечто целое, имеющее определенную структуру.
Основными понятиями системного подхода являются система, структура и элемент.
Система – совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях между собой и образующих определенную целостность, единство.
Структура – строение и внутренняя форма организации системы, выступающая как единство устойчивых взаимосвязей между ее элементами, а также законов данных взаимосвязей.
Под элементом понимают объект, входящих в состав определенной системы и рассматриваемый в ее пределах как неделимый.
Основными принципами системного подхода являются принцип целостности, принцип сложности и принцип организованности.
Под целостностью понимается такая характеристика объекта, которая позволяет отразить объект в единстве его элементов и связей. Целое выступает как совокупность связей и отношений между его частями, обладающее качественно новыми свойствами.
Целостность объекта проявляется также в сложности и иерархичности строения объекта, в наличии нескольких уровней его организации. Если отсутствует хотя бы один из уровней его организованности, то целостность разрушается.
Иерархичность системы означает, что каждая ее подсистема может рассматриваться как система, а сама исследуемая система представляет собой лишь одну из подсистем более широкой системы (количество элементов, связей и др.).
Отметим, что деятельностный подход к процессу обучения при исследовании объекта также опирается на принципы системного подхода.
Действительно, если рассмотреть структуру человеческой деятельности, состоящую из следующих взаимопереходящих друг в друга элементов: деятельность, действие, операция и потребность, мотив, цель; с точки зрения системного подхода, то здесь действуют все основные принципы системного подхода: целостность, сложность и иерархичность (организованность).
Основные принципы системного подхода находят непосредственную реализацию в процессе анализа объективной информации, определяющей внутреннюю структуру и сложность задачи.
Глава 2. Методические основы уровневой дифференциации.
В данной главе мы более подробно рассмотрим такие способы организации учебной деятельности в условиях дифференцированного обучения как фронтальная, групповая и индивидуальная работа, и их практическую реализацию. Глава содержит также ряд практических задач различной степени сложности.
Формирование математического мышления предполагает целенаправленное развитие на предмете математики всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений в органическом единстве с формами проявления мышления.
В процессе обучения математике, естественно уделять особое внимание развитию у учащихся качеств мышления, специфичных для мышления математического. Органическое сочетание и повышенная активность разнообразных компонентов мышления вообще и различных его качеств проявляются в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять деятельность творческого характера в разнообразных областях науки. Математические способности – это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных и применяемых в процессе математической деятельности.
Совокупность способностей, присущих творческой личности, реализуемых в процессе мышления, называют творческим мышлением.
Факторы творческого развития выражаются в следующих принципах:
1) творческие потенциалы заложены в каждом ребенке;
2) развитие творческого стиля мышления происходит только в творческой деятельности;
3) формирование творческой инициативности зависит от условий социальной среды.
Итак, можно сделать следующий вывод: творчество – природная функция мозга, творчество зависит от условий обучения.
Создание этих условий одно из важнейших задач педагога. Одним из них является выбор формы организации работы и типа урока по технологии - творческого развития.
1-ый тип урока – урок анализа домашнего задания
2-ой тип урока – урок выравнивания знаний.
Цель урока - Создать для всех учащихся равные стартовые условия до начала изучения нового учебного материала, т.е. выравнивание знаний по усвоенному ранее материалу.
3-ий тип урока – урок постановки учебной задачи.
Цель урока – научить учащихся целеобразованию, формулировать учебные задачи на первом этапе урока.
При традиционном обучении учебные цели ставит сам учитель, а учащиеся должны их принять к исполнению. Технология урока творческого развития предполагает создание ситуации целеобразования, где возникает процесс порождения новых целей в учебной деятельности, что является одним из важных проявлений творческого мышления.
Целеобразование может быть непроизвольным и произвольным, когда цель возникает в результате специального намерения и планирования.
Существуют различные механизмы целеобразования:
1) внешние требования учителя превращаются в индивидуальную цель;
2) превращение мотивов в цели при их осознании;
3)преобразование неосознанных предвидений в цели и т.д.
4-й тип урока – урок решения учебной задачи (УЗ).
Цель урока – Научить учащихся теоретическому анализу учебного материала, развивать и формировать диалектико-логический, творческий способ мышления.
Процесс решения учебной задачи самый ответственный этап урока, где формируются интеллектуальные способности, творческое мышление, способность к самодвижению
Учебная задача только тогда является действительно «учебной», если она квалифицированно расчленена на дискретные части, т.е. на элементарные задания, раскрывающие УЗ только с какой-то одной стороны. При этом каждое задание у учащихся вызывает проблемную ситуацию.
Максимальные результаты в обучении и воспитании учащихся возможны только при комплексном и умелом использовании всех научных открытий и рекомендаций. Однако для этого нужен совершенно другой тип специалистов, работающих на уровне педагогической акмеологии, т.е. ученые и учителя, достигшие высшей степени профессионализма. К сожалению, фактическое положение таково, что одни знают, что такое развивающее обучение, другие – что такое проблемное обучение, третьи – еще что-то, но трудно найти специалистов, которые в равной мере умели бы продуктивно использовать результаты разных научных школ.