Методика обучения решению комбинаторных задач (стр. 14 из 15)

а) словарь нужен ему обязательно; б) словарь ему не нужен?

Решение. а) Так как выбор англо-русского словаря уже сделан, то оставшиеся 2 книги из 11 можно выбрать

способами. Следовательно, .

Значит, выбор можно сделать 55 способами.

б) В этом случае надо выбрать 3 книги из 11. это можно сделать

способами. Находим, что .

Выбор можно сделать 165 способами.

Ответ: а) 55 способов;

б) 165 способов.

76. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Четырех мальчиков из 16 можно выделить

способами, а трех девочек из 12 можно выделить способами. Каждому выбору четырех мальчиков соответствует возможностей выбора трех девочек. Значит, указанный выбор дежурных можно сделать × способами.

.

Значит, выбор дежурных можно сделать 400400 способами.

Ответ: 400400 способов.

В задачах 54-60 рассматриваются различные комбинации элементов (перестановки, размещения, сочетания).

77. Сколько среди всех перестановок букв слова «высота» таких, которые:

а) начинаются с буквы в;

б) начинаются с буквы а, а оканчиваются буквой т?

78. Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать?

79. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд 3 человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд;

б) Иванов и петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти, а Петров – остаться?

80. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира:

а) команду из четырех человек;

б) команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвертой досках?

81. Для ремонта школы прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трех из них надо отправить на четвертый этаж, а четырех на пятый. Сколькими способами это можно сделать?

82. Номер машины в некотором городе состоит из двух различных букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трех различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами?

83. Из группы туристов четырех дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?

Дополнительные упражнения

84. Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 10, если цифры в числах могут повторяться?

85. Пешеход должен пройти один квартал на север и три квартала на запад. Выпишите все возможные маршруты пешехода.

86. Выпишите все пятизначные числа, записанные тремя четверками и двумя единицами.

87. Из цифр 1, 2, 3, 5 составили все возможные четырехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких цифр, которые больше 2000, но меньше 5000?

88. Сколько четных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр:

а) 1, 2, 3, 7; б) 1, 2, 3, 4?

89. Делится ли число 50! на:

а) 100; б) 305; в) 1550?

90. Найдите наименьшее значение п, при котором число п! оканчивается:

а) одним нулем; б) двумя нулями; в) тремя нулями.

91. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, которые:

а) кратны 2; б) кратны 3?

92. Сократите дробь:

а) ; б) ; в)

93. Решите уравнение:

а)

; б) .

94. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных; б) старосту и помощника старосты?

95. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.

96. Сколько команд участвовало в финале первенства, если известно, что каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника, причем всего было сыграно 30 игр?

97. Сколькими способами четыре пассажира: Алексеев, Смирнов, Федоров и Харитонов – могут разместиться в девяти вагонах поезда, если:

а) все они хотят ехать в разных вагонах;

б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Смирнов и Харитонов в других вагонах, причем различных?

98. В 9 «А» классе учатся 25 учащихся, в 9 «Б» - 20 учащихся, а в 9 «В» - 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трех учащихся из 9 «А», двух – из 9 «Б» и одного – из 9 «В». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

99. Из группы туристов требуется выбрать дежурного и его помощника. Если туристов было бы на одного больше, то возможностей выбора было бы в 1,25 раза больше. Сколько туристов в группе?

100. Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на две группы:

а) по 4 и 8 человек; б) по 5 и 7 человек?

101. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?

102. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (с повторением цифр) сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:

а) 3; б) 4; в) 6?

103. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:

а) 6; б) 9?

104. Найдите значение выражения:

а)

; б) ; в) .

105. Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2?

106. Число размещений из п элементов по 4 в 14 раз больше числа размещений из п – 2 элементов по 3. Найдите п.

107. Решите уравнение:

а)

б)

в)

г)

108. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву на самолете, теплоходе или автобусе. Сколькими различными способами ребята могут осуществить свое путешествие? Назовите все возможные варианты этого путешествия.

109. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

110. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры будут взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

111. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра 0?

112. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить, используя для записи цифры 1, 2, 3 и 4? Какова разность между самым большим и самым маленьким из них?

113. Сколько пятизначных чисел, первые (слева) три цифры которых 2, 3 и 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5? Изменится ли ответ этой задачи, если цифры числа не будут повторяться?

114. Из цифр 0, 1, 2, 3,4 составляют всевозможные пятизначные числа, причем так, что в записи данного числа содержатся все данные цифры. Сколько можно составить таких чисел? Чему будет равна разность между наименьшим и наибольшим из полученных чисел?

115. Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно записать, используя цифры 7, 4 и 5? Сколько среди них четных? Нечетных? Кратных 5?

Размещения и сочетания

116. Покажите, что в нижеприведенных задачах рассматриваются размещения из n элементов по k; определите значения n и k и найдите число размещений: