С VI века центр математических исследований перемещается в Индию и Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквенную символику.
В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII веке. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пезанский. Его «Книга абака» - тракт, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно. Первым крупным самостоятельным достижением западноевропейских ученых было открытие в XVI веке формулы для решения кубического уравнения. В конце XVI века французский математик Ф. Виета ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных постоянных.
Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения, касающиеся алгебраических уравнений. В конце XVIII века было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение носит название основной темы алгебры.
В начале XIX века алгебра получила самостоятельное обоснование, не опирающаяся на геометрические понятия. Таким образом, в течение XIX века в математике возникли разные виды алгебр.
В области преподавания арифметики Россия в XIX веке создала свою передовую математическую школу, далеко опередив в этом смысле западноевропейскую школу. Алгебра как дисциплина более абстрактная оказалась в сильной зависимости от формально – схоластических тенденций.
Программы курса алгебры в первой половине XIX века поражают своей громос т коcтью. Великий русский геометр с успехом преподавал математику в гимназии и, кроме учебника геометрии, создал учебное руководство по алгебре. В 1985 году Н. И. Лобачевский представил в Казанский университет рукопись «Алгебра». Также над алгебраическими вопросами работают и такие математики как В. А. Евтушевский («Сборник арифметических задач») в первой части, которой ставится задача введение «алгебраического языка»; переход к буквенным обозначениям от числовых формул задач, П. Л. Чебышев («Руководство алгебры») и т. д.
Начало нового века внесло существенные коррективы в преподавание алгебры. Передовая педагогическая мысль признала, что в курс алгебры должны быть включены: идеи переменной величины, понятие функции.
Историческую основу современной логики образуют две теории дедукции, созданные в IV веке до н. э. Древнегреческими мыслителями: одна – Аристотелем, другая – его современниками Мегарской школы. Преследуя одну цель - найти «общезначимые» законы логоса, о которых говорил Платон, они, столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели.
Аристотель в сочинении «Топика» в качестве доказательства сформулировал основное правило исчисление высказываний – правила «отделения заключения». Именно на этом пути он ввел понятие высказывания как истинной или ложной речи, открыл атрибутивную форму речи – как утверждения или отрицания «чего-либо о чем-то», определил простое высказывание как атрибутивное отношение двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объектных отношений, аксиому и правило силлогизма.
Логические идеи мегариков были ассимилированы в философской школе стоиков. В сочинениях стоиков логические высказывания предшествуют аристотелевской силлогистики, оформляясь в систему правил построения и правил вывода высказываний.
Эпикура – последняя наиболее важная для истории логики школа в античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию, индукцию. Они положили начало индуктивной логике, указав, на роль противоречащего примера в проблеме обоснования индукции и, сформулировав ряд правил индуктивного обобщения.
Эпикурейской «каноникой» заканчивается история логической мысли ранней античности. На смену приходит поздняя античность. Ее вклад в логику ограничивается переводческой деятельностью поздних перипатетиков и неоплатоников.
Как самостоятельная наука логика развивается лишь в странах арабской культуры (VII – XI век). Оригинальная средневековая логика, известная под названием « logica modernorum » возникает лишь в XII – XIII веке.
Последующие два столетия – эпоха возрождения для дедуктивной логики были эпохой кризиса.
В XIX – XX веке в трудах Дж. Буля возникает алгебраическая логика. Развивалась она в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д. Гильберта и др. Основным предметом алгебраической логики стали высказывания, рассуждения. Под высказыванием понимается каждое предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно.
В алгебраической логике для обозначения истинности вводится символ И, а для обозначения ложности - символ Л. Часто вместо этих символов употребляются числа 1 и 0.
Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий.
Основным предметом математической логики является построение и изучение формальных систем. Центральным результатом является, доказанная в 1931 году австрийским математиком Геделем теорем о неполноте, утверждающая, что для любой «достаточно разумной» формальной системы существуют неразрешимые в ней предложения, то есть такие формулы А, что ни сама формула А, ни ее отрицания не имеют вывода.
§ 2 Математический язык. Понятие о математических словах и предложениях.
Когда мы пишем сочинение, письмо, выступаем на собрании, то свои мысли выражаем при помощи предложений. Читая книгу, статью, мы опять встречаемся с тем, что рассуждения есть цепочка некоторых предложений.
Изучая математику мы тоже пользуемся предложениями, которые могут быть записаны как на естественно (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов (3 + 4 · 7 = 31). Математические предложения характеризуются содержанием и логической структурой.
Но, как известно, любое предложение образуется из слов, а слова – из букв некоторого алфавита. Алфавит состоит из: десяти цифр, для записи чисел в десятичной системе (0,1,2,…,9); букв латинского алфавита, для обозначения переменных, множеств их элементов ( a, b, c, …, z, A, B, C, …, Z) ; знаков, для записи действий (+, - , ·, :, Ö , и др.); знаков отношений, для записи предложений ( =, >, < и др.). А также в символических записях встречаются скобки, запятая.
Из этих знаков конструируются слова и предложения. Слово – это такая конечная последовательность букв алфавита, которая имеет смысл. Например, запись 7 - : 8 + смысла не имеет, и, значит словом ее назвать нельзя.
В математике различаются элементарные и составные предложения. Например: «Число 56 делится на 8» – это элементарное предложение. А предложение «Число 56 четное и делится на 8» составное.
Среди суждений, устанавливающих различные отношения между понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы. Высказыванием называется предложение, относительно которого имеет смысл вопрос, истинно оно или ложно.
Например, предложение «число 8 четное» есть истинное высказывание, а предложение «3 + 3 = 3 2» ложное высказывание. Каждому высказыванию приписывают одно из двух значений: И (истина) и Л (ложь). Значения И и Л называют значениями истинности высказывания. Если высказывание элементарное, то его значение истинности определяется по его содержанию. А если оно составное, то значение истинности зависит от значения истинности составляющих его элементарных высказываний, соединенных при помощи слов: «и», «или», частицы «не», «если…, то…» и др., которые называются логическими связками.
Выясним смысл, который в математике имеет союз «и». Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем из них, с помощью союза «и», составное высказывание. Назовем его конъюнкцией и обозначим А ۸ В (читают: А и В).
Конъюнкицией высказываний А и В называется высказывание А ۸ В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.
Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «Число 102 четное и делится на 9». Высказывание имеет форму «А и В», где А – число 102 четное – И, а В – число 102 делится на 9 – Л. Следовательно, и все предложение ложно.
Выясним теперь, какой смысл в математике имеет союз «или». Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное высказывание. Назовем его дизъюнкцией и обозначим А ۷ В (читают: А или В).
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ۷ В, которое истинно когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.
Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «Число 15 четное или делится на 3», высказывание имеет форму «А или В», где А – Число 15 четное – Л, а В – число 15 делится на 3 – И. Следовательно, и все предложение истинное.
Очень важно знать какой из союзов «и» или «или» присутствует в предложении, иначе может получиться например такое недоразумение: Как-то раз Катя пошла гулять с собакой, и вернулась с прогулки взволнованная. Какой-то прохожий упрекнул ее в нарушении правил содержания собак в городе. Листок с правилами был наклеен на заборе, и одно из них гласило: собака на прогулке должна быть на поводке… в наморднике (кусочек бумаги после слов «на поводке» был оторван).
Она спустила собаку с поводка, но оставила в наморднике. На этом примере хорошо видна роль союза. Если бы был союз «и», прохожий оказался бы прав. Если бы союз «или» была бы пава Катя.
Часто в математике приходится строить высказывание, в которых что-либо отрицается. Например, дано высказывание «Число 12 простое». Это ложное высказывание. Построим его отрицание: «Неверно, что число 12 простое». Получили истинное высказывание. Отрицание высказывания А обозначают Ā читают: «Не А» или «Неверно, что А».