регистрация / вход

Статистические методы оценки прочности пластмасс

Статистические характеристики пластмасс. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам. Оценка эксплуатационных свойств по критерию эффективной удельной прочности.

Введение

Тема реферата «Статистические методы оценки прочности пластмасс».

Прочность пластических масс и изделий из них определяется максимальной нагрузкой или максимальным напряжением, которые образец или изделие могут выдержать без разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы и определяется путем специальных физико-механических испытаний. Однако в отличие от традиционных конструкционных материалов испытания пластмасс дают дополнительный разброс показателей. Он объясняется суще6ствованием двух видов погрешностей: 1) систематических и 2) случайных. Систематические погрешности можно выделить и учесть при оценке прочности, так как их существование связано с малой точностью используемых методик и приборов. Случайные погрешности учесть очень трудно, так как нельзя предусмотреть заранее, в каком месте образца или изделия появится слабое место. Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярного строения, неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре. Такие ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений, концентрацию напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очага разрушения и последующему разрыву.

Случайные погрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности. Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины, которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же материала используется статистическая обработка данных. Полученные статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о полученных данных.

1. Статистические характеристики

1) Среднее арифметическое значение случайной величины:

x = (x1 +x2 +x3 +۰۰۰+xn ) = (Σ xi ) / n,

где n – количество наблюдений в выборке.

2) Эмпирическое среднеквадратическое отклонение:

Sn = √ Σ(xi – x)2 / (n-1)

Берется только положительное значение.

3) Дисперсия:

Dn = Sn 2 = Σ(xi – x)2 / (n-1)

Если n > 50, то (n-1) можно заменить на n.

4) Доверительный интервал:

x – x ‌ ≤ Sn / √n∙tα ( n ) ,

где х – среднее значение величины для бесконечно большого числа измерений (генеральной совокупности);

tα ( n ) – коэффициент Стьюдента, значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной вероятности α.

5) Коэффициент вариации:

νх = Sn /х · 100% или νх = Sn

2. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену

Основными условиями обеспечения прочности любого материала являются:

По напряжениям n = σразmax экв ≥ [n]

По нагрузкам n = R/Q ≥ [n],

где n – запас прочности;

σраз – разрушающее напряжение;

σmax экв – максимальное эквивалентное действующее напряжение;

R – разрушающая нагрузка;

Q – действующая нагрузка;

[n] – допускаемый запас прочности.

В основе оценки лежат:

1) статистическая природа прочности пластмассы;

2) возможность вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений.

Это позволяет построить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующему напряжению σ и пределу прочности σв . При этом запас статистической прочности будет равен:

n = σв / σmax .

Считаем, что σв и σmax известны. В точке А кривые распределения нагружающих и разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно σ > σА и σв < σА , возможно разрушение.

Вероятность разрушения по Серенсену в предположении независимости событий:


Рраз = Р (σ > σА )·Р(σв < σА ) = S,

где S – площадь заштрихованного участка.

Вероятность того, что случайная величина σА будет меньше заданного значения σ, равна:

Р (σ > σА ) = ½ + Ф[(σА – σ) / Sд ],

где Ф – табулированная функция Лапласа;

Sд – среднее квадратическое отклонение действующего напряжения.

Табулированная функция Лапласа равна:

2

Ф[(σА – σ)·/Sд ] = 1/√2π · ∫е-1/2 ξ ·dξ

где ξ = (σАср ) / Sд ; dξ = dσА / Sд

Вероятность того, что случайная величина σА будет больше заданного значения σв , равна:

Р(σв < σА ) = ½ – Ф[(σА – σв ср ) / Sв ],

где Sв – среднее квадратическое отклонение разрушающего напряжения.

В предположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можно записать:

Рраз = {½ + Ф[(σА – σ)/Sд ]}· {½ – Ф[(σА – σв ср )/Sв ]}


Плотность распределения при нормальном законе распределения равна:

2 2

Р(х) = 1/(S·√2π)· e – ( x - x ср) /2 S

Для точки А величина σ может быть найдена из равенства:

2 2 2 2

1/Sд ·e-( σ А- σ ср) / 2 S д = 1/Sв ·e-( σ А- σ вср) / 2 S в

или Zд 2 – Zв 2 = -2 ln(Sд /Sв ),

где Zд = (σАср )/ Sд ; Zв = (σАвср )/ Sв .

Величины Zд и Zв называются нормированными отклонениями.

Последнее уравнение решается относительно σА . Затем определяется Рраз , представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе опыта эксплуатации подобных конструкций.

Через Рраз можно найти коэффициент надежности Н:

Н = lg (1/Pраз )

Рраз = 1 – Рнер ; Рнер = 1 – Рраз

При вероятности неразрушения Рнер, равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, соответственно Н равно 1; 2; 3; 4.


3. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам

Тимофеев Е.И. показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механических свойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетом вероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности.

Изделие считается прочным, если действующая нагрузка Q меньше разрушающей R:

R– Q > 0

Вероятность такого события определяет надежность изделия:

α = Вер [(R – Q) > 0]

Обозначим разность нагрузок через Х:

Х= R – Q

Тогда, с учетом того, что Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностью Р(Х), среднее значение Х равно:

Х0 = R0 – Q0

Стандартное отклонение:

Sx = √ SR 2 + SQ 2

Надежность:


2 2

α = Вер (Х > 0) = P(X)·dX = 1/(S·√2π)·∫e-1/2·(( x - x ср) / S x) ·dx

С учетом нормированной функции Лапласа:

α = Ф(У),

где У = X0 / Sx (У берется из таблиц в зависимости от заданной вероятности).

После подстановки уравнений и деления числителя и знаменателя на Q0 получим:

У = (R0 /Q0 – 1) / √SR 2 / Q0 2 + SQ 2 / Q0 2

Введем обозначения:

n0 = R0 / Q0 – средний наиболее вероятный запас прочности;

νR = SR / R0 ; νQ = SQ / Q0 – коэффициенты вариации разрушающей и действующей нагрузок.

Тогда:

У = (n0 –1)/√ n0 2 ·νR 2 + νQ 2

Для трубы при r >> h, где r – радиус, а h– толщина стенки, принимают:

νR = √ νв 2 + νh 2

Пользуясь специальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно определить запас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранному среднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет также исследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающих и действующих нагрузок.

Статистические методы позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделий температур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д.

Например, по экспериментальным данным нагрев до 60 0 С приводит к снижению предела прочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С – на 35 – 40%, пресс-материала АГ-4В – на 20%.

Если труба изготовлена из АГ-4С, и σв = 9,75 МПа; σд = 5,1 МПа; νR = 0,095; νд = 0,3, то:

n0 = 9,75 / 5,1 = 1,91

У = (1,91 – 1) / √ 1,912 ·0,0952 + 0,32 = 2,5

По таблице для У = 2,5 находим α = 0,9938 или 99,38%.

При нагреве до 60 0 С:

n0 = 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147

У = (1,147 – 1) / √ 1,1472 ·0,0952 + 0,32 = 0,445

По таблице для У = 0,445 находим α = 0,672 или 67,2%.

Количественная оценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя.

Повышения надежности можно достичь за счет улучшения прочности материала или усовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к понижению коэффициента вариации νв .

Из уравнения для У можно определить запас прочности:

n0 = (1 + У·√νR 2 + νQ 2 – У2 ·νR 2 ·νQ 2 ) / (1 – У2 ·νR 2 )

4. Оценка эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности

Примем за условный вес конструкции изделия вес, приходящийся на единицу длины l и единицу действующей нагрузки Q.

усл = q / (l·Q),

а за единицу прочности примем величину:

kв = l·R / q,

где R – разрушающая нагрузка.

Из этих уравнений выводим:

усл = n / kв

Условный наиболее вероятный коэффициент запаса прочности с учетом вариации поперечного сечения изделия равен:

n0 = [1 + У·√νв 2 + νF 2 + νQ 2 – У2 ·νQ 2 ·(νв 2 + νF 2 )] / [(1 – У2 ·(νв 2 + νF 2 )]

Тогда можно записать, что средняя наиболее вероятная прочность материала равна:

k0 σ = σв0 / γ,

где γ – удельный вес материала.


Пусть q0усл ´= n0 / k0 σ .

После подстановок получим:

q0 ´усл = 1 / k0 σ ·[(1-У2 ·(νв 2F 2 )] / [1+У·√νв 2F 2Q 2 –У2 ·νQ 2 ·(νв 2F 2 )]

Знаменатель этой формулы называют критерием эффективной удельной прочности материалов:


0 σ = k0 σ · [(1-У2 ·(νв 2F 2 )] / [1+У·√νв 2F 2Q 2 –У2 ·νQ 2 ·(νв 2F 2 )]

Из уравнения видно, что k´0 σ учитывает неоднородность материала (νв ), вариацию действующих напряжений (νQ ), рассеивание размеров (νF ) и заданную надежность α = Ф(У).

Упростив уравнение и приняв, что νQ = νF = 0, получим:

0 σ = k0 σ ·(1 – У· νв )

Оценка конструкционных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности показывает, что пластмассы резко отличаются по степени однородности. Из реактопластов наиболее неоднородны АГ-4С, АГ-4В, из термопластов – полиамиды 6 и 66. Если же перерабатывать пластмассы при оптимальных строго регулируемых режимах, то k´0 σ имеет примерно равные значения при любых степенях надежности (У = 2, 3, 4). Это свидетельствует о том, что качество изделий при этих условиях, их прочностные свойства и однородность изделий значительно улучшаются.


Заключение

В процессе написания реферата мы ознакомились со статистическими методами оценки прочности пластмасс; оценкой прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену; статистической оценкой прочности пластмасс по нагрузкам и оценкой эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности.


Литература

1.Альшиц И.Я. и др. Проектирование изделий их пластмасс. – М.: Машиностроение, 1979. – 248 с.

2.Зенкин А.с. и др. Допуски и посадки в машиностроении. К.: Техніка, 1990. –320 с.

3.Штейнберг Б.И. и др. Справочник молодого инженера-конструктора. – К.: Техніка, 1979. – 150 с.

4.Лепетов В.А., Юрцев Л.И. Расчет и конструирование резиновых изделий. М.: Химия, 1987. – 408 с.

ОТКРЫТЬ САМ ДОКУМЕНТ В НОВОМ ОКНЕ

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ [можно без регистрации]

Ваше имя:

Комментарий