регистрация / вход

Обработка результатов прямых многократных измерений

Характеристика проверки согласия эмпирического и теоретического распределений измеренных величин. Определение границ диапазона рассеивания значений и погрешностей, расчет доверительных интервалов. Построение гистограммы и полигона с функцией плотности.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Волгоградский государственный технический университет

(ВолгГТУ)

Кафедра Технология машиностроения

Семестровая работа

по метрологии

Обработка результатов прямых многократных измерений

Выполнил: ст. гр. АУ – 323 Добриньков А. В.

Проверил: Карабань В. Г.

Волгоград 2010

Задание

1. Построить полигон, гистограмму и теоретическое распределение измеренных величин.

2. Проверить согласие теоретического и эмпирического распределений.

3. Определить доверительные интервалы.

4. Определить границы диапазона рассеивания значений и погрешностей.

Исходные данные

Номер интервала Границы интервалов Частотаmi
свыше до
1 19,97 19,99 2
2 19,99 20,01 2
3 20,01 20,03 12
4 20,03 20,05 25
5 20,05 20,07 35
6 20,07 20,09 62
7 20,09 20,11 66
8 20,11 20,13 77
9 20,13 20,15 39
10 20,15 20,17 29
11 20,17 20,19 20
12 20,19 20,21 7
13 20,21 20,23 2

1. Построение эмпирического и теоретического распределений

При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi ), а по оси ординат – вероятность попадания в каждый i – тый интервал:

.

Вычислим на каждом участке: (Σmi = 378)

Номер интервала Эмпирические частности Середина интервала , мм
1 0,005291 19,98
2 0,005291 20,00
3 0,031746 20,02
4 0,066138 20,04
5 0,092593 20,06
6 0,164021 20,08
7 0,174603 20,10
8 0,203704 20,12
9 0,103175 20,14
10 0,07672 20,16
11 0,05291 20,18
12 0,018519 20,20
13 0,005291 20,22

Построим гистограмму и полигон по полученным значениям:

Для построения теоретического распределения необходимо определить приближённые значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения S.

Номер интервала Частота Середина интервала mi xi mi xi 2 S
1 2 19,98 39,96 798,4008 0,043395663 20,10486772
2 2 20 40 800
3 12 20,02 240,24 4809,6048
4 25 20,04 501 10040,04
5 35 20,06 702,1 14084,126
6 62 20,08 1244,96 24998,7968
7 66 20,1 1326,6 26664,66
8 77 20,12 1549,24 31170,7088
9 39 20,14 785,46 15819,1644
10 29 20,16 584,64 11786,3424
11 20 20,18 403,6 8144,648
12 7 20,2 141,4 2856,28
13 2 20,22 40,44 817,6968
Σ 378 7599,64 152790,47

По виду гистограммы и полигона предполагаем нормальный закон распределения с функцией плотности

рассеивание погрешность гистограмма плотность

,

,

а вероятность попадания результата измерений в i-тый интервал величиной h = 0.02:

.

Номер интервала Середина интервала
1 19,98 2,877424 0,006354 0,002928 0,005291
2 20,00 2,416549 0,02152 0,009918 0,005291
3 20,02 1,955673 0,058938 0,027163 0,031746
4 20,04 1,494797 0,13053 0,060158 0,066138
5 20,06 1,033922 0,233766 0,107737 0,092593
6 20,08 0,573046 0,338534 0,156022 0,164021
7 20,10 0,112171 0,39644 0,18271 0,174603
8 20,12 0,348705 0,37541 0,173017 0,203704
9 20,14 0,80958 0,287466 0,132486 0,103175
10 20,16 1,270456 0,178001 0,082036 0,07672
11 20,18 1,731331 0,089127 0,041076 0,05291
12 20,20 2,192207 0,036087 0,016632 0,018519
13 20,22 2,653083 0,011815 0,005445 0,005291

Построим теоретическое распределение результатов измерений

:

2. Проверка согласия эмпирического и теоретического распределений

Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции F(xi ). Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN подставляют в выражение:

,

где – объём выборки. Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если .

Таблица

Номер интервала
1 0,002928 0,005291 0,002928 0,005291 0,002363
2 0,009918 0,005291 0,012846 0,010582 0,002264
3 0,027163 0,031746 0,040009 0,042328 0,002319
4 0,060158 0,066138 0,100168 0,108466 0,008298
5 0,107737 0,092593 0,207904 0,201058 0,006846
6 0,156022 0,164021 0,363927 0,365079 0,001153
7 0,182710 0,174603 0,546636 0,539683 0,006954
8 0,173017 0,203704 0,719653 0,743386 0,023733
9 0,132486 0,103175 0,852140 0,846561 0,005579
10 0,082036 0,076720 0,934176 0,923280 0,010895
11 0,041076 0,052910 0,975252 0,976190 0,000938
12 0,016632 0,018519 0,991884 0,994709 0,002825
13 0,005445 0,005291 0,997329 1,000000 0,002671

В нашем случае максимальное значение разности:

DN = F’8 – F8 = 0,023733, N = ∑mi = 378

Для lN =0,4614 по таблице находим g = 0,01 Þ (1 – 0,01) = 0,99 > 0,1. Т. о. эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим.

3. Определение доверительных интервалов

Доверительный интервал для математического ожидания M определяется из выражения:

,

значение tg возьмём из справочника, для g » 0,01 и N = 13: tg = 3,06,

тогда 20,06804 мм < M < 20,14170 мм

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определим из выражения:

,

значения c1 2 и c2 2 определяем по справочнику, для g1 » 0,01 , g2 » 0,99 и N=13: c1 2 =26,2; c2 2 =3,57,

тогда 0,02937 мм < <0,07956 мм

4. Определение диапазона рассеивания значений

Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,027.

М » = 20,10486772 мм

S » = 0,043395663 мм

М-3 » 19.9747 мм

М+3 » 20.2351 мм

Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001.

М±σ

= 0,4995, Þ = 3,29

М-3,29 = 19,9621 мм

М+3,29 = 20,2476 мм

Для партии деталей проведены измерения координат X,Y двух отверстий 1 и 2. Определить средний размер и среднее квадратическое отклонение размера межцентрового расстояния.

Номер измерения Значения параметра
X1 X2 Y1 Y2
1 26,792 28,394 29,9 31,911
2 26,787 28,487 29,901 31,922
3 26,79 28,39 29,913 31,914
4 26,792 28,592 29,902 31,899
5 26,791 28,494 29,903 31,898
6 26,782 28,485 29,912 31,91
7 26,792 28,591 29,901 31,891
8 26,792 28,791 29,903 31,902
9 26,787 28,584 29,912 31,898
10 26,793 28,572 29,906 31,907
11 26,79 28,493 29,9 31,899
12 26,794 28,493 29,912 31,898
13 26,786 28,576 29,903 31,889

Для определения среднего размера и среднего квадратического отклонения S воспользуемся следующими формулами:

где N=13

= 26,7898 мм = 0,003411895 мм

= 28,534 мм = 0,10339165 мм

= 29,9052 мм = 0,005117842 мм

= 31,9029 мм = 0,009393806 мм

Определим средний размер межцентрового расстояния:

= 2,1318 мм

Определим среднее квадратическое отклонение размера межцентрового расстояния по формуле:

,

где – частная производная по от и – частная производная по от :

= -0,3491

= 0,3491

= -0,9371

= 0,9371

Т. о. SL = 0,0375 мм.

ОТКРЫТЬ САМ ДОКУМЕНТ В НОВОМ ОКНЕ

Комментариев на модерации: 1.

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ [можно без регистрации]

Ваше имя:

Комментарий