Математична обробка результатів вимірювань
Реферат
на тему:
Математична обробка результатів вимірювань
Прямими називаються вимірювання, в результаті яких встановлюють безпосередньо шукане значення величини.
Результати спостережень Xl,Х2,.... Хп, одержані за прямими вимірюваннями фізичної величини Q, називаються рівнорозсіяними, якщо вони є незалежними, однаково розподіленими випадковими величинами. Рівнорозсіяні результати одержують при вимірюваннях, які проводяться одним або групою експериментаторів за допомогою однакових технічних засобів вимірювання та у незмінному зовнішньому середовищі.
Результати опрацьовуються по-різному, залежно від того, мало (п < 40) чи багато (п ≥ 40) проведено спостережень.
При малій кількості результатів обробка їх проводиться у такій послідовності.
1. Визначається точкова оцінка істинного значення вимірюваної величини — середнє арифметичне значення результатів спостережень:
(1)2. Обчислюються випадкові відхилення результатів спостережень та їх квадрати:
(2)3. Визначається середнє квадратичне відхилення результатів спостережень:
(3)4. Перевіряється нормальність розподілу результатів спостережень.
5. Визначається наявність грубих похибок, які відповідають відношенню δ ≥ 3σ. Результати з грубими помилками опускають і проводять обчислення для меншого числа спостережень з попередньою послідовністю.
6. Встановивши значення довірчої ймовірності залежно від точності вимірювань, визначається значення ймовірності випадкової похибки:
(4)7. Результат істинного значення записується у такому вигляді:
Q = mx± дйм; при Р = 0,9—0,9973,
або
(5)Приклад. Визначити істинне значення виміряної температури в апараті за низкою результатів спостережень (табл. 1) при заданій ймовірності р = 0,95.
Таблиця 1
| Ms | t °С | δ °С | δ2t | |||
| 1 | 123,5 | +0,09 +0,05 | 0,0081 0,0025 | |||
| 2 | 123,8 | +0,39 +0,35 | 0,1521 0,1225 | |||
| 3 | 123,6 | +0,19 +0,15 | 0,0361 0,0225 | |||
| 4 | 123,7 | +0,29 +0,25 | 0,0841 0,0625 | |||
| 5 | 123,9 | +0,49 +0,45 | 0,2401 0,2025 | |||
| 6 | 123,0 | -0,41 -0,45 | 0,1681 0,2025 | |||
| 7 | 123,4 | -0,01 -0,05 | 0,0001 0,0025 | |||
| 8 | 123,2 | -0,21 -0,25 | 0,0441 0,0625 | |||
| 9 | 123,1 | -0,31 -0,35 | 0,0961 0,1225 | |||
| 10 | 123,3 | -0,11 -0,15 | 0,0121 0,0225 | |||
| 11 | 101,2 | -22,21 — | 493,284 — | |||
| 12 | 145,2 | +21,79 — | 474,804 — | |||
| ∑ | п = 12 | п = 10 | п = 12 | п = 10 | п = 12 | п = 10 |
| 1480,9 | 1234,5 | -0,12 | 0,0 | 968,92 | 0,825 | |
| mt | 123,41 123,45 | σt = 8,9858 σt= 0,3 | ||||
1. Визначаємо точкову оцінку істинного значення вимірюваної величини, тобто середнє арифметичне даних спостережень (графа 2 табл. 1):
Одержане числове значення середнього арифметичного округляємо так, щоб випадкові відхилення не були більшими за дві-три значущі цифри при точних вимірюваннях. Отже, округляємо до значення t= 123,41 °С.
2. Визначаємо відхилення результатів спостережень (графа 3 табл. 1). їх сума дорівнює 0,12, хоча повинна дорівнювати нулю. Проте два останніх спостереження мають значні відхилення, тому перевіряємо їх щодо наявності грубих відхилень за відношенням δ ≥ 3σ.
3. Визначаємо середнє квадратичне відхилення результатів спостережень:
Згідно з правилом δ ≥ 3σ два останніх спостереження, відхилення яких наближаються до Зσ, відносяться до результатів з грубими похибками і їх можна опустити з ряду спостережень, залишивши в ньому перші 10 спостережень. Повторюємо обробку результатів для 10 спостережень.
1. Визначаємо середнє арифметичне значення результатів спостережень:
2. Визначаємо відхилення результатів 10 спостережень:
Їх сума дорівнює 0. Значних відхилень результатів спостережень не виявлено.
3. Визначаємо середнє геометричне відхилення результатів спостережень:
4. Виходячи з довірчої ймовірності 0,95 при 10 спостереженнях, знаходимо значення коефіцієнта Стьюдента tp= 2,228.
5. Визначаємо довірчі межі відхилення вимірюваної величини:
6. Визначаємо результат істинного значення вимірюваної температури та довірчі межі:
Список використаної літератури
В.Д.Цюцюра, С.В.Цюцюра. Метрологія та основи вимірювань. Навч. посібн., К., "Знання -Прес", 2003