Математические методи в психології (стр. 2 из 3)

Часто мы хотим сложить все числа группы. Если в группе имеется 5 чисел, то n = 5, а сумма всех чисел равна Х1 + Х2 + … + Х5 Х1 + Х2 + … + Xn обозначает сумму всех n чисел в группе, когда точное значение n не сговорено.

Сокращение записи для Х1 + Х2 + … + Xn , которое часто употребляется, выглядит так:

Хi

Хi обозначает Х1 + Х2 + … + Xn

Хi = Х1 + Х2 + X3
Хi = Х3 + Х4 + X5

S - это греческая прописная буква "сигма".

Хi читается как "сумма Хi когда i пробегает значения от 1 до 5".
Хi читается как "сумма Хi когда i пробегает значения от 1 до n ".

Общепризнанно, что краткое обозначение S является экономным. Статистики извлекают из этою большую пользу.

Сложение чисел, умноженных, например, на 6 или возведенных в квадрат (это значит умноженных на самих себя), осуществляется, как обычно. Допустим, мы хотим умножить каждое из n чисел на 2 и сложить результаты. Искомая сумма есть

2X1 + 2X2 +...+2Xn .

Но вы наверняка заметите, что эта сумма - то же самое, что и

2(X1 + X2 +...+Xn ).

Используя S-обозначение, мы можем заменить (X1 + 2X2 +...+2Xn ) на

Хi Результат можно записать так:

2X1 + 2X2 +...+2Xn =

i = 2
Хi

Этот результат возник не вследствие какого-либо магического свойства числа 2: с числами 4, 60 или 131,4 результат будет тот же. В самом деле, если с представляет собой какое-либо постоянное число (то есть число, которое не зависит от i ), то

с X1 + с X2 +...+с Xn =

с Хi = с
Хi (Правило 1)

Если постоянное число (константу) с прибавить к каждому из n чисел, то получим

X1 + с, X2 + с, …, Xn + с

Сумма этих значений

(X1 + с ) + (X2 + с ) + … + (Xn +с ) =

( Xi +с )

При сложении мы всегда можем перегруппировать числа в любом порядке до того, как складывать

( Xi +с ) = (X1 + X2 +...+Xn ) + (с + с + … + с )

Первая сумма в круглых скобках справа дает

Хi

Какова же вторая сумма в круглых скобках? Сколько с сложено? Ответ: n. Поэтому вторая сумма равна . Следовательно,

( Xi +с ) =
Хi +
с =
Хi + nс (Правило 2)

Другое важное выражение - сумма квадратов n чисел

(X1

X1 ) + (X2
X2 ) + ... + (Xn
Xn ) =
+
+ … +
,

которое символически изображается как

Х

Аналогично

+
+ … +
=
Х

хотя в элементарной статистике это выражение встречается редко.

Заметим, что

Хi символически изображает единственное число: число, которое получается в результате сложения n чисел.

Хi может быть 10, 13 или 1300. с
Хi это произведение двух чисел с и
Хi . (
Хi ) (
Хi ) является произведением числа (некоторой суммы), умноженного на самого себя. Мы также запишем это следующим образом:

(

Хi ) (
Хi ) = (
Хi )2

Если Х1 = 3, Х2 = 6, а Х3 = 1, то

Хi = 10, а (
Хi )2 = 100.

Обычным в статистическом анализе является выражение

(Xi +с )2 = (X1 + с)2 + (X2 + с)2 + ... + (Xn +с)2


(Xi +с )2 , равное (Xi +с ) (Xi +с ), иначе можно записать так:

Xi + с

Действительно, тогда

(Xi +с )2 =
+ 2сХi2 )

Выражение в скобках можно записать n раз следующим образом:

Х

+ 2сХ1 2

Х

+ 2сХ2 2

… … …

… … …

Х

+ 2сХn2

Чему равна сумма первого столбца данного выражения? Она равна Х

+ Х
+ … + Х
=
Х
. Какова сумма второго столбца? Она составляет

2сХ1 + 2сХ2 + … + 2сХn = 2с (Х1 + Х2 + … + Хn ),

что более кратко можно записать как 2с

Хi . Какова сумма третьего столбца? Она представляет собой с2 + с2 + ... + с2 = nc 2 . Складывая суммы этих трех столбцов, имеем

(Xi +с )2 =
Х
+ 2с
Хi .+ nc 2 . (Правило 3)


ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]
перед публикацией все комментарии рассматриваются модератором сайта - спам опубликован не будет

Ваше имя:

Комментарий

Хотите опубликовать свою статью или создать цикл из статей и лекций?
Это очень просто – нужна только регистрация на сайте.

Copyright © MirZnanii.com 2015-2018. All rigths reserved.