fmo - частота модального интервала,
fmo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,
fmo+1 - частота послемодального интервала.
Модальный интервал определяем по наибольшей частоте. Для данного ряда это будет интервал 726-833.
Мо=726+((107Ñ(6-6)/(6-6)+(6-5))=726
Мода равна 726 млн. руб.
Медиана (Ме) - значение признака, лежащее в середине ранжированного (упорядоченного) ряда распределения.
По номеру медианы определяем медианный интервал
Nme=(n+1)/2; Nme=(25+1)/2=13.
По накопленной частоте S определяем, что медиана будет находится также в интервале 726-833. Значение медианы определяем по формуле:
Me=xo+iÑ((Nme-Sme-1)/fМe),
где Хо - нижняя граница медианного интервала,
i - величина медианного интервала,
NМe - номер медианы
SМe-1 - Накопленная частота интервала, предшествующего медианному,
fМe - частота медианного интервала.
Me=726+(107Ñ(13-11)/6)=761,67; Me=762 млн. руб.
Рассчитаем показатели вариации.
Размах вариации ( R ) R=Xmax-Xmin
где Xmax - максимальное значение признака
Xmin - минимальное значение признака
(Находим по первичным данным)
R = 1045-512 = 533 (млн. руб.).
Среднее линейное отклонение (d)
d=å|Xi-X|8fi /åfi; d=2953,5/25=118,14 млн. руб.
Дисперсия (s2)
s2=å(Xi-X)2Ñfi /åfi; s2=480858,3/25=19234,33=19234
s=Ös2 - среднее квадратическое отклонение; s=138,7 млн. руб.
По рассчитанным показателям достаточно трудно судить о степени вариации признака в совокупности, т.к. их величина зависит и от размера значений признака, поэтому более объективной характеристикой будет коэффициент вариации
V=sÑ100/X; V=138,7Ñ100/758=18,3%
Коэффициент вариации свидетельствует об однородности совокупности (т.к. он меньше 33,3%) и надежности средней.
Для характеристики дифференциации банков по величине капитала, расчитаем коэффициент фондовой дифференциации. (Кф)
Кф=Хmax(10%)/Xmin(10%);
где Xmax - средняя из 10% максимальных значений признака
Xmin - средняя из 10% минимальных значений признака.
10% от 25 будет 2,5 , то есть можно взять значения трех банков, имеющих самые большие и самые маленькие значения капитала
Xmin:512, 526, 543 Xmin=527 млн. руб.
Xmax:1045, 958, 971 Xmax=991,3 млн. руб.
Кф=991,3/527=1,881
Следовательно, средняя из 10% максимальных значений превышает среднюю из минимальных значений в 1,881 раза.
Задание №6
Учитывая, что массив данных является пятипроцентной выборочной совокупностью из общего массива данных (генеральной совокупности), определить для нее:
а) среднюю величину факторного признака, гарантируя результат с вероятностью 0,95;
б) долю банков, у которых величина признака больше среднего значения, гарантируя результат с вероятностью 0,95.
Предполагается, что исходные данные по 25 банкам являются 5% выборкой из некоторой генеральной совокупности. В этой связи необходимо решить следующие задачи:
- определение характеристик выборочной совокупности:
средней величины (Х),
дисперсии (s2х)
доли единиц, обладающих значением изучаемого признака(W)
дисперсии доли [W(1-W)];
- расчет ошибок выборки (mx; Dx; mw; Dw);
- распространение результатов выборки на генеральную совокупность путем определения доверительных интервалов, в которых с определенной вероятностью можно гарантировать нахождение характеристик генеральной совокупности.
Для определения характеристик выборочной совокупности воспользуемся результатами предыдущего задания. Так, по ряду распределения определили, что средняя величина капитала составляет Х=758млн. руб., а дисперсия равна 19234.
Для расчета ошибок выборки следует воспользоваться формулами для бесповоротного отбора, так как по условию можно определить численность генеральной совокупности (N).
Средняя ошибка выборки для средней величины (mx)
mx=Ös2/n-1Ñ(1-n/N),
где s2 – дисперсия выборочной совокупности;
n – численность единиц выборочной совокупности;
N – численность генеральной совокупности;
Так как n = 25, что составляет 5% от численности генеральной совокупности, то N=500.
mx=Ö(19234/25-1)Ñ(1-25/500)= Ö761,349=27,59
Предельная ошибка для средней
Dx=tÑmx,
t- коэффициент доверия, принимаемый в зависимости от уровня доверительной вероятности 0,95 и числа степеней свободы (к) k=n-1 для малой выборки определяется по таблице Стьюдента.
При вероятности Р=0,95 и к=24 значение t=2,0639
Dx=2,0639Ñ27,59=56,9
Доверительный интервал
х-Dx<x<x+Dx; 758-56,9<x<758+56,9
701,1<x<814.9
С вероятностью 0,95 можно гарантировать, что средняя величина капитала в расчете на один банк по генеральной совокупности будет находиться в пределах от 701,1млн. руб., до 814,9млн. руб.
Долю банков, у которых капитал превышает среднюю величину (W), для выборочной совокупности определим по первичным данным (табл. 1) число таких банков 13, их доля в выборочной совокупности:
W=13/25=0,52
Средняя ошибка доли для бесповоротного отбора:
mx=Ö (w(1-w)/n-1)Ñ[1-n/N]; mx=Ö (0,52Ñ(1-0,52)/25-1)Ñ[1-25/500]
mx=Ö0,00988=0,09939
Предельная ошибка Dw=tÑmw. При вероятности 0,95 t=2.
Dw=2Ñ0,09939=0,2
Доверительный интервал
w-Dw<p<w+Dw,
где р - доля единиц по генеральной совокупности
0,52-0,2<p<0,52+0,2
0,32<p<0,72
Следовательно, с вероятностью 0,95 можно гарантировать, что доля банков, у которых величина капитала больше среднего значения будет находиться пределах от 32% до 72%
Задание №7, 8, 9.
Установить наличие и характер связи между величиной факторного и результативного признаков используя:
а) данные групповой таблицы;
б) поле корреляции;
в) график эмпирической линии регрессии.
Определить тесноту корреляционной связи, используя линейный коэффициент корреляции, дать оценку его существенности.
Рассчитать параметры и найти уравнение парной регрессии. Дать его экономическую интерпретацию.
Выполнение п. 7,8,9 задания связано с корреляционным анализом.
Корреляционной называют взаимосвязь между факторным и результативным показателем, которая проявляется только «в общем и среднем» при массовом наблюдении фактических данных.
Условиями корректного использования корреляционного метода является однородность совокупности, отсутствие выделяющихся, «аномальных» наблюдений, достаточно большое число единиц совокупности.
Проверка исходных данных на однородность и аномальность наблюдений выполнена ранее.
При проведении корреляционного анализа решаются следующие вопросы:
- содержательный анализ исходных данных и установление факторного и результативного показателей;
- установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;
- измерение степени тесноты связи;
- расчет параметров регрессионной модели и нахождение аналитического выражения связи (уравнения регрессии);
- оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация.
Содержательный анализ исходных данных выполнен ранее и установлено, что капитал – факторный признак (Х), прибыль – результативный (Y).
Установление факта наличия связи осуществляется на основе групповой таблицы (табл. 5а) и графическим способом путем изображения поля корреляции и графика эмпирической линии регрессии (рис. 1).
Анализ таблицы 5а свидетельствует о прямой связи между капиталом и прибылью банков.
Таблица 5а
| №п/п | Капитал, млн. руб | Число банков | Середина интервала (Xi) | Прибыль в среднем на 1 банк |
| 1 | 512-619 | 5 | 565,5 | 5,34 |
| 2 | 619-726 | 6 | 672,5 | 6,8 |
| 3 | 726-833 | 6 | 779,5 | 15,7 |
| 4 | 833-940 | 5 | 886,5 | 18,0 |
| 5 | 940-1047 | 3 | 993,5 | 20,9 |
Эмпирическую линию регрессии (рис. 1) строим по данным табл. 5а, принимая за Xi середину интервала, за Yi прибыль в среднем на один банк по каждой группе.
Поле корреляции, имеющее форму вытянутого эллипса, и направление эмпирической линии регрессии свидетельствует также о наличие прямой зависимости между прибылью и капиталом банка.
Предполагая, что зависимость между капиталом и прибылью, имеет линейную форму, определим тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции. Для этого воспользуемся расчетами, выполненными в табл. 4.