Основы геодезических измерений (стр. 8 из 11)

Обозна- чения	D	sinб sinб'	SAB SAC	sinψ sinψ'	ψ ψ'	φ φ'	αAB αAC	αD α'D	αD-α'D õmß
Численные значения	174,52	0,66179	3068,48	0,03950	2o15'50"	39o10'41"	329o07'55"	8o18'36"	∆α=1'30"
		0,95061	5275,51	0,03292	1o53'13"	106o11'46"	262o07'51"	8o18'37"

sin ψ = D×sinб/ S _AB; sin =174,52×0,66179/3068,48=0,03950;

sin ψ' = D×sinб'/ S _AС; sin `=174,52×0,95061/5275,51=0,03292;

ψ = arcsin 0,03950 =2 ^o15` 50``;

ψ'= arcsin 0,03292=1 ^o53` 13``;

φ = 180 ^o – (б+ ψ) = 180 ^o – (138^o33` 49``+2 <sup>o</sup>15` 50``) = 39<sup>o</sup>10` 41``

φ`= 180 <sup>o</sup> – (б`+ ψ` ) = 180 <sup>o</sup> – (71<sup>o</sup>55` 02``+1 <sup>o</sup>53` 13``) = 106 ^o11` 46``

α_D =α_AB ± φ =329^o07` 55``+ 39<sup>o</sup>10` 41``= 8<sup>o</sup>18` 36``

α_D`=α<sub>AC</sub> ± φ`=262^o07` 51``+ 106 <sup>o</sup>11` 46``= 8<sup>o</sup>18` 37``

Контроль:

(α_D–α'_D) õm_β;

где m_β –СКП измерения горизонтальных углов.

Знак «+» или «-» в формулах вычисления дирекционного угла берется в зависимости от взаимного расположения пунктов А, Р, В и С.

(8^o18` 36``-8<sup>o</sup>18` 37``) ≤ 30``

0^o00` 01`` ≤ 30``

Решение прямых задач (вычисление координат т.Р)

Обозначения	αD αD'	sinαD sinαD'	cosαD cosαD'	DcosαD DcosαD'	DsinαD Dsinα'D	∆Х -∆Х' ∆Y- ∆Y'	ХА YА	Хp = ХА+ ∆Х Х'p = ХА+ ∆Х' Yp = YА+ ∆Y Y'p = YА+ ∆Y'
Численные значения	8o18'36"	0,14453	0,98950	172,69	25,22	∆=00,00 ∆=00,00 ∆доп=25см	6327,46	6500,15
	8o18'37"	0,14454	0,98950	172,69	25,22		12351,48	12376,70

Х_p= Х_А+∆Х,Y_p = Y_А+∆Y,

Х'_p= Х_А+∆Х',Y'_p = Y_А+∆Y'.

∆Х= Dcosα_D,∆Y= Dsinα_D,

∆Х'= Dcosα'_D,∆Y'=Dsinα'_D.

Расхождение координат не должно превышать величины õm_ß×p, где p=206265", m_ß – средняя квадратическая погрешность измерения угла.

Оценка точности определения положения пункта P.

Средняя квадратическая погрешность определения отдельного пункта вычисляется по формуле:

M²_p = m²_X +m²_Y,M²_p = m²_D +(D×m_α / P)²

где m_D- определяется точностью линейных измерений, а m_α – точностью угловых измерений.

Пример: m_D =2см, m_α= 5``, тогда

M_p =√ [(0,02) ²+(170×5/2×10⁵)²] ≈ 2×10^-2 = 0,02м.

4.3 Решение прямой и обратной засечки (по варианту задания)

Определение координат пункта прямой засечкой (формулы Юнга).

Для однократной засечки необходимо иметь два твёрдых пункта. Контроль определения осуществляется вторичной засечкой с третьего твёрдого пункта.

Исходные данные: твердые пункты А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С).

Полевые измерения: горизонтальные углы β1, β ₂,β`<sub>1</sub>,β`_2.

Определяется пункт P.

Формулы для решения задачи:

Х_p -Х_А=((Х_B-Х_А) ctgβ ₁+(Y_B-Y_А))/ (ctgβ ₁+ ctgβ ₂);

Х_p= Х_А+∆Х_А;

Y_p -Y_А=((Y_B-Y_А) ctgβ ₁+(Х_B-Х_А))/ (ctgβ ₁+ ctgβ ₂); Y_p= Y_А+∆Y_А;

Оценка точности определения пункта P.

Вычисление СКП из 1-го и 2-го определения:

M₁ =(m_β×√(S₁²+ S₂²))/p×sinγ₁;

M₂ =(m_β×√(S₁²+ S₂²))/p×sinγ₂;

Значения величин, входящих в приведённые формулы следующие:

m_β =5``, p=206265``; γ=73˚15,9`; γ=62˚55,7`; S₁=1686,77 м; S₂=1639,80 м; S₃=2096,62 м.

Стороны засечки найдены из решения обратных задач.

M₁ = (5``×√2,86+2,69)/(2×10⁵×0,958)=0,06м.

M₂ = (5``×√2,69+4,41)/(2×10⁵×0,890)=0,07м.

M_r = √ (M₁² +M₂²); M_r =√ [(0,06) ²+(0,07) ²]=0,09м.

Расхождение между координатами из двух определений

r = √ [( Х_p- Х`<sub>p</sub>) <sup>2</sup>+( Y<sub>p</sub>- Y`_p) ²] не должно превышать величины 3 M_r;

r =√ [(2833,82-2833,82) ²+(2116,38-2116,32) ²]=√0,0036=0,06м.

На основании неравенства r =0,06м 3×0,09м логично сделать вывод о качественном определении пункта P.

За окончательные значения координат принимают среднее из двух определений.

Решение числового примера

β1 β2	XB XA	ctgβ1 ctgβ2 (XB- XA)ctgβ1	YB YA	∆ XA XP = XA+∆XA	(YB-YA)ctgβ1		∆ YA YP=YA+∆YA
	XB- XA		YB-YA
		ctg β1 + ctg β2
52˚16.7' 52˚27.4'	1630.16 1380.25	0.77349 0.71443 193.30 1.48792	3230.00 1260.50	1453.57 2833.82	1523.39		855.88 2116.38
	+249.91		+1969.50
β'1 β'2	XC XB	ctg β'1 ctg β'2 (XC- XB)ctg β'1	YC YB	∆ XB XP = XA+∆XA	(YC-YB)ctgβ'1		∆ YB YP=YA+∆YA
	XC- XB		YC-YB
		ctg β'1 + ctg β'2
69˚48.5' 52˚27.4'	3401.04 1630.16	0.36777 0.92402 651.28 1.29175	4133.41 3230.00	1203.56 2833.82		332.24		-1113.68 2116.32
	+1770.88		+903.41

2833.82 2116.35

Определение координат пункта методом обратной засечки (аналитическое решение задачи Потенота).

Необходимо иметь три твёрдых пункта, для решения задачи с контролем используют четвёртый твердый пункт.

Исходные данные: А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С), D(X_DY_D).

Полевые измерения: горизонтальные углыγ₁, γ₂, γ₃.

Определяемый пункт P.

Формулы для вычисления:

1.ctgγ₁=а; ctgγ₂=b

2.k₁ =a(Y_B- Y_A)-( Х_B- Х_A);

3.k₂ =a( Х_B- Х_A)+(Y_B- Y_A);

4.k₃ =b(Y_С- Y_A)-( Х_C- Х_A);

5.k₄ =b( Х_C- Х_A)-(Y_C- Y_A);

6.c=( k₂ - k₄)/( k₁ - k₃)=ctga_AP;

7.контроль: k₂ - с k₁= k₁- с k₃;

8.∆Y=( k₂ - с k₁)/( 1 - с²);

9.∆Х= с _AY;

10.Х_p= Х_А+∆Х, Y_p = Y_А+∆Y.

Решение численного примера

1	γ1 γ2 a=ctg γ1 b=ctg γ2	109˚48'42" 224˚15'21" -0.360252 +1.026320
2	XB XC XA	5653.41 8143.61 6393.71
X'B = XB- XA X'C = XC- XA	-740.30 1749.90
X'C- X'B = XC- XB	2490.20
YB YC YA	1264.09 1277.59 3624.69
Y'B = YB- YA Y'C = YC- YA	-2360.60 -2347.16
Y'C- Y'B = YC- YB	13.5
3	k1 k3	+1590.71 -4158.78
k1- k3	+5749.49
k2 k4	-2093.91 -551.14
k2- k4	-1542.77
c = ctg α c2 + 1 k2-ck1 k4-ck3	-0.268332 1.072002 -1667.07 -1667.07
4	∆Y YA Y ∆X XA X	-1555.0 3624.65 +2069.56 +417.28 6393.71 +6810.99

Координаты из первого определения получились Х_p=6810,99м, Y_p =2069,56 м.