Линейная регрессия (стр. 1 из 5)
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийский Заочный Финансово-Экономический институт
Филиал г. Тула
Контрольная работа
по дисциплине "Эконометрика"
Вариант 8
Выполнила:
Проверил:
Тула
2008
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (
, млн. руб.) от объема капиталовложений ( 
, млн. руб.).Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков
; построить график остатков.3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью
-критерия Фишера 
, найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя
при уровне значимости 
, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.7. Представить графически: фактические и модельные значения
точки прогноза.8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Вариант 8
| | 17 | 22 | 10 | 7 | 12 | 21 | 14 | 7 | 20 | 3 |
| | 26 | 27 | 22 | 19 | 21 | 26 | 20 | 15 | 30 | 13 |
Решение:
1. Уравнение линейной регрессии имеет следующий вид:
Таблица 1
| №наблюдения | X | Y | X2 | X·Y |
| 1 | 17 | 26 | 289 | 442 |
| 2 | 22 | 27 | 484 | 594 |
| 3 | 10 | 22 | 100 | 220 |
| 4 | 7 | 19 | 49 | 133 |
| 5 | 12 | 21 | 144 | 252 |
| 6 | 21 | 26 | 441 | 546 |
| 7 | 14 | 20 | 196 | 280 |
| 8 | 7 | 15 | 49 | 105 |
| 9 | 20 | 30 | 400 | 600 |
| 10 | 3 | 13 | 9 | 39 |
| Сумма | 133 | 219 | 2161 | 3211 |
| Ср. значение | 13,3 | 21,9 | 216,1 | 321,1 |
Найдем b:
Тогда
Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷx =11,779+0,761x.
Коэффициент регрессии показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. рублей объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 761 тыс. рублей.
2. Вычислим остатки при помощи. Получим:
Таблица 2
| ВЫВОД ОСТАТКА | |||
| Наблюдение |  | Остатки  |  |
| 1 | 24,72 | 1,284 | 1,649 |
| 2 | 28,52 | -1,521 | 2,313 |
| 3 | 19,39 | 2,611 | 6,817 |
| 4 | 17,11 | 1,894 | 3,587 |
| 5 | 20,91 | 0,089 | 0,008 |
| 6 | 27,76 | -1,76 | 3,098 |
| 7 | 22,43 | -2,433 | 5,919 |
| 8 | 17,11 | -2,106 | 4,435 |
| 9 | 27 | 3,001 | 9,006 |
| 10 | 14,06 | -1,062 | 1,128 |
| Сумма | 219 | -0,003 | 37,961 |
Найдем остаточную сумму квадратов:
Дисперсия остатков равна:
.График остатков имеет следующий вид:
График 1
3. Проверим выполнение предпосылок МНК.
· Случайный характер остатков.
Случайный характер остатков εi проверяется по графику. Как видно из графика 1 в расположении точек εi нет направленности (на графике получена горизонтальная полоса). Следовательно, εi – случайные величины и применение МНК оправдано.
· Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.
Так как расположение остатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в виде горизонтальной полосы), то они независимы от значений фактора xi. Следовательно, модель адекватна.
· Проверка гомоскедастичности остатков.
Выборка у нас малого объема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем метод Голдфельда - Квандта.
1) Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х.
2) Разделим на две группы - с большим и меньшим x, и для каждой группы определим уравнения регрессии.
Таблица 3
| х | y | x·y | x2 | ŷ | εi=yi-ŷi | ε2 | |
| 1 | 3 | 13 | 39 | 9 | 13,181 | -0,181 | 0,033 |
| 2 | 7 | 19 | 133 | 49 | 17,197 | 1,803 | 3,251 |
| 3 | 7 | 15 | 105 | 49 | 17,197 | -2,197 | 4,827 |
| 4 | 10 | 22 | 220 | 100 | 20,209 | 1,791 | 3,208 |
| 5 | 12 | 21 | 252 | 144 | 22,217 | -1,217 | 1,481 |
| Сумма | 39 | 90 | 749 | 351 | 12,799 | ||
| Ср.знач | 7,8 | 18 | 149,8 | 70,2 | |||
| х | y | x·y | x2 | ŷ | εi=yi-ŷi | ε2 | |
| 1 | 14 | 20 | 280 | 196 | 21,672 | -1,672 | 2,796 |
| 2 | 17 | 26 | 442 | 289 | 24,252 | 1,748 | 3,056 |
| 3 | 20 | 30 | 600 | 400 | 26,832 | 3,168 | 10,036 |
| 4 | 21 | 26 | 546 | 441 | 27,692 | -1,692 | 2,863 |
| 5 | 22 | 27 | 594 | 484 | 28,552 | -1,552 | 2,409 |
| Сумма | 94 | 129 | 2462 | 1810 | 21,159 | ||
| Ср.знач | 18,8 | 25,8 | 492,4 | 362 |
3) Рассчитаем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.
, 
.