Экономическое моделирование в банковской сфере (стр. 1 из 3)
Задание 1
В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Y (t) | 43 | 54 | 64 | 41 | 45 | 58 | 71 | 43 | 49 | 62 | 74 | 45 | 54 | 66 | 79 | 48 |
Требуется:
1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 = 0,6; α3 = 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
1. Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y (t). Линейная модель имеет вид:
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:
Таблица 1
| t | Y (t) | t-tср | (t-tср) 2 | Y-Yср | (Y-Yср) х (t-tср) |
| 1 | 43 | -4 | 12 | -9 | 33 |
| 2 | 54 | -3 | 6 | 2 | -4 |
| 3 | 64 | -2 | 2 | 12 | -17 |
| 4 | 41 | -1 | 0 | -11 | 6 |
| 5 | 45 | 1 | 0 | -7 | -4 |
| 6 | 58 | 2 | 2 | 6 | 8 |
| 7 | 71 | 3 | 6 | 19 | 47 |
| 8 | 43 | 4 | 12 | -9 | -33 |
| 36 | 419 | 0 | 42 | 0 | 36 |
Произведем расчет:
Получим линейное уравнение вида:
Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.
Таблица 2. Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели
| t | Y (t) | Yp (t) |
| 1 | 43 | 49,42 |
| 2 | 54 | 50,26 |
| 3 | 64 | 51,11 |
| 4 | 41 | 51,95 |
| 5 | 45 | 52,80 |
| 6 | 58 | 53,64 |
| 7 | 71 | 54,49 |
| 8 | 43 | 55,33 |
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.
Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y (t) I квартала первого года, равное
, и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) 
.Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:
Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:
Таблица 3. Модель Хольта-Уинтерса
| t | Y (t) | a (t) | b (t) | F (t) | Yp (t) | Абс. погр.,E (t) | Отн. погр.,в% |
| 0 | 48,57 | 0,85 | 0,8612 | - | - | ||
| 1 | 43 | 49,57 | 0,89 | 0,8650 | 42,56 | 0,44 | 1,03 |
| 2 | 54 | 50,35 | 0,86 | 1,0746 | 54,39 | -0,39 | 0,72 |
| 3 | 64 | 50,88 | 0,76 | 1,2658 | 65,43 | -1,43 | 2,24 |
| 4 | 41 | 51,85 | 0,82 | 0,7877 | 40,44 | 0,56 | 1,37 |
| 5 | 45 | 52,48 | 0,76 | 0,8605 | 45,56 | -0,56 | 1,24 |
| 6 | 58 | 53,46 | 0,83 | 1,0807 | 57,21 | 0,79 | 1,36 |
| 7 | 71 | 54,83 | 0,99 | 1,2833 | 68,73 | 2,27 | 3, 20 |
| 8 | 43 | 55,45 | 0,88 | 0,7803 | 43,97 | -0,97 | 2,26 |
| 9 | 49 | 56,52 | 0,94 | 0,8644 | 48,47 | 0,53 | 1,07 |
| 10 | 62 | 57,43 | 0,93 | 1,0801 | 62,09 | -0,09 | 0,15 |
| 11 | 74 | 58,15 | 0,87 | 1,2769 | 74,89 | -0,89 | 1, 20 |
| 12 | 45 | 58,61 | 0,74 | 0,7728 | 46,05 | -1,05 | 2,34 |
| 13 | 54 | 60,29 | 1,03 | 0,8832 | 51,31 | 2,69 | 4,99 |
| 14 | 66 | 61,25 | 1,01 | 1,0785 | 66,23 | -0,23 | 0,34 |
| 15 | 79 | 62,14 | 0,97 | 1,2735 | 79,50 | -0,50 | 0,63 |
| 16 | 48 | 62,81 | 0,88 | 0,7676 | 48,77 | -0,77 | 1,61 |
| 25,75 |
Проверка качества модели.
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E (t) (разности
между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.Таблица 4. Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
| t | E (t) | Точка поворота | E (t) 2 | [E (t) - E (t-1)] 2 | E (t) xE (t-1) |
| 1 | 0,44 | - | 0, 194 | - | - |
| 2 | -0,39 | 0 | 0,150 | 0,69 | -0,17 |
| 3 | -1,43 | 1 | 2,05 | 1,09 | 0,55 |
| 4 | 0,56 | 1 | 0,32 | 3,98 | -0,81 |
| 5 | -0,56 | 1 | 0,31 | 1,26 | -0,32 |
| 6 | 0,79 | 0 | 0,62 | 1,81 | -0,44 |
| 7 | 2,27 | 1 | 5,17 | 2,21 | 1,79 |
| 8 | -0,97 | 1 | 0,95 | 10,54 | -2,21 |
| 9 | 0,53 | 1 | 0,28 | 2,24 | -0,51 |
| 10 | -0,09 | 0 | 0,01 | 0,38 | -0,05 |
| 11 | -0,89 | 0 | 0,78 | 0,63 | 0,08 |
| 12 | -1,05 | 1 | 1,11 | 0,03 | 0,93 |
| 13 | 2,69 | 1 | 7,26 | 14,03 | -2,83 |
| 14 | -0,23 | 0 | 0,05 | 8,52 | -0,61 |
| 15 | -0,50 | 0 | 0,25 | 0,07 | 0,11 |
| 16 | -0,77 | - | 0,60 | 0,08 | 0,38 |
| Сумма | 0,41 | 8,00 | 20,09 | 47,57 | -4,09 |
2. Проверка точности модели.
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E (t) }, поделенное на фактическое значение Y (t) и выраженное в процентах 100%* abs{E (t) }/ Y (t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%, значит, условие точности выполнено.
3. Проверка условия адекватности.
Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E (t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр.2 табл.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е
сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр.3 табл.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр.3 ставится 0. В первой и в последней строке гр.3 табл.4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.
Рассчитаем значение
: 
Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.
Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:
1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):
Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:
Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е (t) являются независимыми.
2) по первому коэффициенту автокорреляции r (1):
