Математические методы и модели (стр. 1 из 2)

Задача 1

Определить зависимость между фактором и результатирующим признаком по данным, приведенным в таблице. Рассчитать коэффициент корреляции, определить вид зависимости, параметры линии регрессии, корреляционное отношение и оценить точность аппроксимации. Выбор варианта осуществляется по последней цифре порядкового номера студента

Решение:

Построим расчетную таблицу

N	Расходы по эксплуатации машин и механизмов (тыс. ден. ед), X	Основная заработная плата (тыс. ден. ед), Y	XY	X2	Y2
1	3,2	6,3	20,16	10,24	39,69	6,35	0,003	10,27
2	0,5	1,1	0,55	0,25	1,21	2,04	0,886	3,98
3	1,2	2,9	3,48	1,44	8,41	3,16	0,067	0,04
4	0,1	2,5	0,25	0,01	6,25	1,40	1,203	0,35
5	0,5	2,3	1,15	0,25	5,29	2,04	0,067	0,63
6	0,6	4,7	2,82	0,36	22,09	2,20	6,244	2,58
7	0,8	2,5	2	0,64	6,25	2,52	0,000	0,35
8	1,3	3,6	4,68	1,69	12,96	3,32	0,079	0,26
9	2,1	5	10,5	4,41	25	4,60	0,164	3,63
10	0,3	0,7	0,21	0,09	0,49	1,72	1,045	5,74
11	3,2	7	22,4	10,24	49	6,35	0,421	15,25
12	0,5	1	0,5	0,25	1	2,04	1,085	4,39
13	1,4	3,1	4,34	1,96	9,61	3,48	0,143	0,00
14	1,8	2,8	5,04	3,24	7,84	4,12	1,733	0,09
15	0,3	1,4	0,42	0,09	1,96	1,72	0,104	2,87
16	0,4	1	0,4	0,16	1	1,88	0,778	4,39
17	2,3	5,1	11,73	5,29	26,01	4,91	0,034	4,02
18	0,1	2,6	0,26	0,01	6,76	1,40	1,433	0,25
18	1,3	3,8	4,94	1,69	14,44	3,32	0,232	0,50
20	1,3	2,5	3,25	1,69	6,25	3,32	0,670	0,35
сумма	23,2	61,9	99,08	44	251,51	61,9	16,391	59,93
среднее	3,095

Вычислим коэффициент корреляции по формуле:

r

где X и Y- текущие значения наблюдаемых величин;

N- число наблюдений.

Получим:

Коэффициент корреляции лежит в пределах 0£ / r /£ 1 . При положительном коэффициенте корреляции наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной увеличивается и зависимая.

В нашем примере r = 0,852

связь тесная

Вычислим уравнение регрессии:

- уравнение регрессии

Построим корреляционное поле

Теснота связи для аппроксимации криволинейных зависимостей определяется при помощи корреляционного отношения

r =

Дополнительной оценкой точности аппроксимации является средняя относительная ошибка аппроксимации. Линия регрессии - аппроксимирующая функция. Чем меньше E, тем точнее выбранная зависимость аппроксимирует существующую зависимость

Вычислим точность аппроксимации:

где Yi- наблюденное значение зависимой переменной ;

- рассчитанное по формуле значение;

- среднее значение;

Вывод:

1. Между факторами имеется тесная связь.

2. Связь прямая

3. Прямолинейная зависимость лучше отображает связь.

Задача 2

2.1 По приведенным ниже данным – матрицы прибыли в зависимости от выбранной стратегии и состоянии факторов внешней среды, выбрать наиболее предпочтительную стратегию по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа.

Состояние факторов внешней среды
1	2	3	4	5	6
А	100	120	130	130	120	110
Б	110	90	150	120	120	100
В	150	150	100	90	100	90
Г	130	100	110	120	120	110
Д	150	110	110	100	130	150
Е	190	90	100	170	120	90
Ж	100	140	140	140	130	100
З	120	150	130	130	120	90
И	140	120	130	120	150	100

Критерий Лапласа.

Критерием выбора стратегии выступает максимизации математического ожидания.

Состояние факторов внешней среды							М
Варианты стратегий	1	2	3	4	5	6
	А	100	120	130	130	120	110	118
	Б	110	90	150	120	120	100	115
	В	150	150	100	90	100	90	113
	Г	130	100	110	120	120	110	115
	Д	150	110	110	100	130	150	125
	Е	190	90	100	170	120	90	127
	Ж	100	140	140	140	130	100	125
	З	120	150	130	130	120	90	123
	И	140	120	130	120	150	100	127

Вывод: В соответствии с критерием Лапласа стратегии СЕ и СИ характеризуются максимальным математическим ожиданием прибыли.

Критерий Вальда

В соответствии с критерием Вальда субъект, принимающий решение, избирает чистую стратегию, гарантирующую ему наибольший (максимальный) вариант из всех наихудших (минимальных) возможных исходов действия по каждой стратегии. На этой основе получается решение, определяемое как

Состояние факторов внешней среды							min
Варианты стратегий	1	2	3	4	5	6
	А	100	120	130	130	120	110	100
	Б	110	90	150	120	120	100	90
	В	150	150	100	90	100	90	90
	Г	130	100	110	120	120	110	100
	Д	150	110	110	100	130	150	100
	Е	190	90	100	170	120	90	90
	Ж	100	140	140	140	130	100	100
	З	120	150	130	130	120	90	90
	И	140	120	130	120	150	100	100

W = 100

Вывод: В соответствии с критерием рекомендуемые стратегии СА, СГ, СД, СЖ, СИ гарантируют максимальный результат (100) в самой неблагоприятной ситуации.

Критерий Гурвица

Согласно критерию Гурвица при выборе решения разумней придерживаться некоторой промежуточной позиции.В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей

,

где a- показатель пессимизма-оптимизма, принимающий значения 0£ a£1,

Вывод: Согласно критерию Гурвица стратегия СЕ обеспечивает максимальное значение линейной комбинации

Критерий Сэвиджа

Чтобы оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход в соответствии с критерием Сэвиджа вводится показатель риска(r ij), определяемый как разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии (Rj) и выигрышем при выбранной стратегии (Si)

; при ,