Экономико-математическое моделирование (стр. 1 из 2)
1. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей
Имеет ли игра седловую точку?
Решение:
Найдем по каждой строчке платежной матрицы минимальное число αi= min (αi1, αi2, αi3) – это гарантированный выигрыш игрока А, при выборе им соответствующей стратегии. Чтобы получить максимально возможный гарантированный выигрыш, игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой αij имеет максимальное значение – α = max(α1, α2, α3) – это нижняя цена игры.
Для игрока В выберем по каждому столбцу максимальное число βj = max(α1j, α2j, α3j) – это гарантированный проигрыш игрока В при выборе им стратегии Вj. Найдем минимальное из этих чисел β = min (β 1, β 2, β 3) – это верхняя цена игры. Занесем полученные данные в таблицу 1.
Нижняя цена игры α = 8 равна верхней цене игры β = 8. Значит, игра имеет седловую точку. Для игрока А оптимальная стратегия – А1, для игрока В оптимальная стратегия – В1.
Ответ: α = β = 8, игра имеет седловую точку, оптимальные стратегии (А1, В1).
Таблица 1 – Определение цены игры платежной матрицы
| В1 | В2 | В3 | ||
| А1 | 8 | 9 | 9 | α1 = min (8, 9, 9) = 8 |
| А2 | 6 | 5 | 8 | α2 = min (6, 5, 8) = 5 |
| А3 | 3 | 4 | 5 | α3 = min (3, 4, 5) = 3 |
| β1 = max(8, 6, 3) β1= 8 | β2 = max(9, 5, 4) β2= 9 | β3 = max(9, 8, 5) β3= 9 | α = max(8, 5, 3) = 8 β = min (8, 9, 9) = 8 |
2. Решить графически игру, заданную платежной матрицей
Решение:
Дана игра 4 х 2 , то есть у игрока А имеется 4 стратегии, а у игрока В – 2. Поэтому, будем решать игру для игрока В. Построим оси: ОХ – на ней будем отмечать вероятности, с которыми игрок использует ту или иную стратегии, и ОУ – на ней будем откладывать цену игры. На расстоянии единица от оси ОУ проведем еще ось параллельную ей, как показано на рисунке 1.
Если игрок А выбирает стратегию А1, то игрок В, используя свои стратегии с вероятностями (q1, q2), будет проигрывать, в среднем, q1∙α11+q2∙α12 = q1∙(-3) +q2∙(-4). Отметим на оси ОУ α11 = -3, а на оси ей параллельной α12 = -4 и соединим эти точки прямой линией – она показывает, сколько, в среднем, получает игрок В, если А использует стратегию А1, а В чередует стратегии В1 и В2 с некоторыми вероятностями (q1, q2). Аналогично отмечаем на оси ОУ точку -1, а на параллельной ей оси – точку 2 и соединяем отрезком. Получаем линию, показывающую, сколько, в среднем, получает игрок В, если А выбрал стратегию А2. Точно также для А3 и А4.
Для игрока В надо выбрать верхнюю границу, так как он должен рассчитывать, что А выберет ту стратегию, которая соответствует наибольшему проигрышу для игрока В. На рисунке 1 это ломанная А3КА2, выделенная толстой линией. Игроку В следует выбрать ту смешанную стратегию, которая соответствует наименьшему проигрышу для В – точка К. Это точка пересечения прямых, соответствующих стратегиям А3 и А2. Выпишем уравнения этих прямых.
Прямая (А3 А3) проходит через точки с координатами (0;2) и (1;-4). Уравнение этой прямой запишется в следующем виде:
Уравнение прямой (А2 А2), проходящей через точки (0;-1) и (1;2), запишется в следующем виде:
Рисунок 1 –Графическое решение
Точка К – точка пересечения этих прямых, имеет координаты, удовлетворяющие системе:
Решение системы:
Следовательно, цена игры ν = 0, оптимальная стратегия для игрока В:
Для игрока А, стратегии А1 и А4 будут не активными, игроку А не выгодно их использовать. Максимально возможный выигрыш, равный цене игры ν = 0, игрок А будет получать, используя стратегии А2 и А3. Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока А из следующей системы, учитывая, что А1 и А4 не активные стратегии, то есть р1 = р4 = 0:
Ответ: Цена игры ν = 0, оптимальные стратегии игроков
3. Решить геометрически следующую задачу линейного программирования:
при ограничениях: 
Решение:
Построим область ограничений. Строим прямую (1): x1 – 4x2 - 4 = 0 по двум точкам, координаты которых удовлетворяют уравнению: (8; 1), (4; 0), как показано на рисунке 2. Проверяем, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству
, для этого подставим значение произвольной точки (0; 0) в это неравенство, получим 
- выполняется. Аналогичным способом строим прямые (2): 
и (3): 
, выделяем «бородой» области значений x1, x2, удовлетворяющие условиям 
и 
. На рисунке 2 изображена область, удовлетворяющая представленной в условиях задачи системе. Заметим, что 
и одно из неравенств системы - 
, тогда, очевидно, функция F принимает значения интервала 
, но 
, тогда Fmax = 
.Ответ:Fmax =
. 
Рисунок 2 – Графическое решение
4. Для выпуска двух видов продукции А и В предприятие использует 4 вида ресурсов, все данные представлены в следующей таблице:
| Вид ресурса | Расход ресурсов для выпуска одного изделия | Наличие ресурса | |
| А | В | ||
| Рабочая сила | 1 | 3 | 3 |
| Сырье | 6 | 3 | 24 |
| Оборудование | 2 | 5 | 20 |
| Производственные ресурсы | 2 | 2 | 10 |
Прибыль от реализации единицы продукции А и В составляет 50 и 70 ДЕ, соответственно. Предприятие может нанять людей на работу, а увольнять людей не разрешается. Составить план выпуска продукции, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Сколько человек придется нанять?
Решение:
Обозначим x1, x2 – число единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. По условию для их изготовления потребуется (1∙ x1 + 3∙ x2) единиц ресурса «Рабочая сила», (6∙ x1 + 3∙ x2) единиц ресурса «Сырье», (2∙ x1 + 5∙ x2) единиц ресурса «Оборудование», (2∙ x1 + 2∙ x2) единиц ресурса «Производственные ресурсы». Так как потребление всех этих видов ресурсов не должно превышать наличие ресурсов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
где а ≥ 3 и а – целое число (количество работников).
Суммарная прибыль стремиться к максимальному значению:
Все значения x1 и x2 лежат в I четверти, а функция F – луч, исходящий из точки (0; 0) под углом α к оси ОX1, где
т.е. 
- функция прибыли F. Строим графическое решение для неравенств (2): 
, (3): 
, (4): 
, как это показано на рисунке 3.Максимально возможная прибыль из графического решения в точке К, координаты которой находим из системы:
