Уравнения линейной регрессии (стр. 1 из 3)
Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Филиал в г. Туле
Контрольная работа
по дисциплине «Эконометрика»
Тула - 2010 г.
Содержание
Задача 1
Задача 2 (а, б)
Задача 2 в
По предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.
Табл. 1.1.
| Х | 33 | 17 | 23 | 17 | 36 | 25 | 39 | 20 | 13 | 12 |
| Y | 43 | 27 | 32 | 29 | 45 | 35 | 47 | 32 | 22 | 24 |
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков
; построить график остатков.3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
гиперболической;
степенной;
показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение
1. Линейная модель имеет вид:
Параметры уравнения линейной регрессии найдем по формулам
Расчет значения параметров представлен в табл. 2.
Табл. 1.2.
| t | y | x | yx |  |  |  |  |  |  |  |
| 1 | 43 | 33 | 1419 | 1089 | 42,236 | 0,764 | 0,584 | 90,25 | 88,36 | 0,018 |
| 2 | 27 | 17 | 459 | 289 | 27,692 | -0,692 | 0,479 | 42,25 | 43,56 | 0,026 |
| 3 | 32 | 23 | 736 | 529 | 33,146 | -1,146 | 1,313 | 0,25 | 2,56 | 0,036 |
| 4 | 29 | 17 | 493 | 289 | 27,692 | 1,308 | 1,711 | 42,25 | 21,16 | 0,045 |
| 5 | 45 | 36 | 1620 | 1296 | 44,963 | 0,037 | 0,001 | 156,25 | 129,96 | 0,001 |
| 6 | 35 | 25 | 875 | 625 | 34,964 | 0,036 | 0,001 | 2,25 | 1,96 | 0,001 |
| 7 | 47 | 39 | 1833 | 1521 | 47,69 | -0,69 | 0,476 | 240,25 | 179,56 | 0,015 |
| 8 | 32 | 20 | 640 | 400 | 30,419 | 1,581 | 2,500 | 12,25 | 2,56 | 0,049 |
| 9 | 22 | 13 | 286 | 169 | 24,056 | -2,056 | 4,227 | 110,25 | 134,56 | 0,093 |
| 10 | 24 | 12 | 288 | 144 | 23,147 | 0,853 | 0,728 | 132,25 | 92,16 | 0,036 |
| ∑ | 336 | 235 | 8649 | 6351 | 12,020 | 828,5 | 696,4 | 0,32 | ||
| Средн. | 33,6 | 23,5 | 864,9 | 635,1 |
Определим параметры линейной модели
Линейная модель имеет вид
Коэффициент регрессии
показывает, что выпуск продукции Y возрастает в среднем на 0,909 млн. руб. при увеличении объема капиталовложений Х на 1 млн. руб.2. Вычислим остатки
, остаточную сумму квадратов 
, найдем остаточную дисперсию 
по формуле: 
Расчеты представлены в табл. 2.
Рис. 1. График остатков ε.
3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.
Табл. 1.3.
 |  |
| 0,584 | |
| 2,120 | 0,479 |
| 0,206 | 1,313 |
| 6,022 | 1,711 |
| 1,615 | 0,001 |
| 0,000 | 0,001 |
| 0,527 | 0,476 |
| 5,157 | 2,500 |
| 13,228 | 4,227 |
| 2,462 | 0,728 |
| 31,337 | 12,020 |
d1=0,88; d2=1,32 для α=0,05, n=10, k=1.
,значит, ряд остатков не коррелирован.
4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (α=0,05).
для ν=8; α=0,05.Расчет значения
произведен в табл. 2. Получим: 
Так как
, то можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии a и b с вероятностью 0,95 значимы.5. Найдем коэффициент корреляции по формуле
Расчеты произведем в табл. 2.
Значит,
. Т.о. связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. 
.Коэффициент детерминации найдем по формуле
. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,4% объясняется вариацией объема капиталовложений X.Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера
Fтаб=5,32, т.к. k1=1, k2=8, α=0,05
т.к. F значительно больше Fтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95% статистически значимо.
Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Расчеты произведены в табл. 2.
,значит, линейную модель можно считать точной, т.к. Е<5%/
6. С помощью линейной модели осуществим прогноз Y при α=0,1 и х=0,8хmax
Определим границы прогноза. t0,1;8=1,86
Найдем границы интервала:
7. Представим графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
Рис. 2. Фактические данные, линейная модель и результаты прогнозирования.
8. а) Составим уравнение гиперболической модели. Гиперболическая модель имеет вид
;Проведем линеаризацию переменной путем замены
. 
Расчеты произведем в табл. 3.
Модель имеет вид:
