Смекни!
smekni.com

Типовой расчет по теоретической механике

ЗаданиеД-1

Дано:


Найти:

и уравнениетраекториина участке BC.

Решение:

  1. Рассмотримдвижение телапринимаемогоза материальнуюточку на участкеAB

    .

Покажем силыдействующиена тело:

-сила тяжести,
-нормальнаяреакция поверхности,
-сила трения.

Знаем:

В проекцияхна оси

и
имеем:

Так как телодвижется вдольоси

,то проекцииперемещенияскорости иускорения наось
равны 0, тогдауравнение
принимает вид:

,откуда

Знаем:

У нас:

Учтём

в уравнение

или

,где
-постояннаявеличина

Интегрируемуравнение

или

т.е.

Для определенияпостоянныхинтегрирования

и
запишем начальныеусловия движениятела на участкеAB. При
в положенииА имеем:

Подставимначальныеусловия в уравнения

и
получим:

,откуда

,откуда

Запишем уравнение

и
с учётом постоянныхинтегрирования
и

В положенииB, при

имеем:


Запишем уравнение

при

  1. Рассмотримдвижение телана участке BC

    ,T – времядвижения телаот B до C

Знаем:

В проекцияхна оси имеем:

или

,т.е.

или

или

,т.е.

Для определенияпостоянныхинтегрирования

запишем начальныеусловия движенияна участке BC.

При

в положенииB:

Подставим этиначальныеусловия в уравнения

:

Запишем уравнения

с учётом найденныхпостоянныхинтегрирования:


В положенииС при

:

Из

выражаем t:

Подставим в

:

Ответ:



ЗаданиеД-10-2


Дано:



Определить:


Решение:

Применим теоремуоб изменениикинетическойэнергии системы:

где

и T – кинетическаяэнергия системыв начальноми конечномположениях;

–сумма работвнешних сил,приложенныхк системе, наперемещениисистемы изначальногоположения вконечное;

– сумма работвнутреннихсил системына том же перемещении;

т.к. системасостоит изабсолютнотвёрдых тел,соединяющихнерастяжимыминитями и стержнями,то

,т.к. в начальномположениисистемы находитсяв покое, то
;

Тогда уравнение

принимает вид:

Вычислимкинетическуюэнергию системыв конечномположении:

Кинетическаяэнергия груза1, движущегосяпоступательно:


Кинетическаяэнергия блока2, совершающеговращательноедвижение:

Кинетическаяэнергия катка3, совершающегоплоское движение:

т.к.

тогда формула

приобретаетследующий вид:

Определимсумму работвсех внешнихсил, приложенныхк системе, незаданномперемещением:



Работа силытрения

:

Работа силытрения

:

Работасилы тяжести

:

Определим, накокой уголповернётсякаток 3 припрохождениигрузом 1 расстоянияS:

Работапары сил сопротивлениякачания тела3:

где


Силы

(т.к. сила
приложена вмгновенномцентре скоростей)работы не совершают.

Поэтому

Приравниваемзначения Tи

:


ЗаданиеК-1

Тема: «Определениескорости иускорения точкипо заданнымуравнениямеё движения»


Дано:


Решение:

  1. Уравнениядвижения (1) и(2) являютсяпараметрическимиуравнениямитраекториидвижения точкиМ. Чтобы получитьуравнениетраекториив координатнойформе, исключимвремя tиз уравнений(1) и (2).

Из уравнения(2):

подставим вуравнение (1),получим

Это уравнениепараболы.


  1. Построимпараболу поточкам, значениякоторых приведеныв таблице:


y -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
x 3,531 2,979 2,551 2,245 2,061 2 2,061 2,245 2,551 2,979 3,531

  1. Найдёмположениеточки М приt=0

Это точка

(2;0)

Найдём положениеточки М при

Это точка

(2,75;-7)
  1. Модуль скорости

    где

при

поэтому покажем
из
в направленииположительногоотсчёта осиx.

поэтомупокажем
из точки
в отрицательномнаправлениеоси y.Итак, при

Масштаб

:1 см - 2 см/с
  1. Определяемускорение,которое имеетточка, движущаясяпо параболе.

где
поэтому покажем
в направленииположительногоотсчёта осиxих точки

Аналогично

Итак, при

Масштаб

:1 см - 2 см/
  1. Знаем:

    при

значит движениеточки ускоренное,поэтому покажем
в сторону вектора

  1. Полное ускорение

    откуда

при

покажем източки
по нормали ктраектории.
  1. Знаем:

    где
    -радиус кривизнытраекториив точки

при

Из точки

вдоль нормалиnотложим
и получим точку
–центр кривизныпараболы вточке

Координатыточки, а такжееё скорость,ускорение иих проекциина координатныеоси для

приведены ниже
координаты,см скорость,см/с

ускорение,см/

радиускривизны, см
x y

2,75 -7 3 -14 14,32 6 0 6 1,257 5,867 34,95


ЗаданиеК-4

Дано:ОА=35 см, АВ=65 см,r=15 см,

Найти:


Решение:


Ответ:

т. Р– полюс звена2

т.Р` – полюс звена3


ЗаданиеС-7-22


Тема:Определениереакций опортвёрдого тела.


Дано:


Определить:все реакцииопор конструкции(в нашем случаереакции цилиндрическихшарниров А иВ и стержняCD)


Решение:

  1. Предположим,что реакцииподшипниковбудут направленыследующимобразом

    реакция стержня
    вдоль DCкверху.
  2. Спроецируемвсе силы системына соответствующиеоси координат.

где
направлениедругих реакцийсм. выше.
  1. Составим уравнениеравновесиясил системы:

а)

или

б)

вдоль оси
никаких взаимодействийне происходит

в)

  1. Т.к. неизвестныхпока большечем уравнений=> составимуравненияравновесиямоментов силсистемы:

г)

д)

т.к.
направление
было выбрановерно.

е)

  1. Зная

    найдём
    из е) :
    т.к.
    истинное направление
    противоположновыбранному.

Зная

и
найдём
из а) :
направление
противоположновыбранному.

Найдём

из г) :
т.к.
направление
выбрано верно.

Зная

найдем
из в) :
т.к.
направление
выбрано верно.
  1. Т.к.

Т.к.

Проверка:

Для проверкивыберем новуюсистему координатс центром вточке

(
точка приложениясилы G) иосями соноправленнымисо старыми (см.рисунок)

=> реакция

;
и
-найдены верно.

=>реакция

и
-найдены верно.


ЗаданиеС-2

Тема:«Определениереакций опорсоставнойконструкции»


Дано:

Определить:Все реакцииопор (в нашемслучае в неподвижномшарнире А и вподвижномшарнире В). Трениемпренебрегаем.


Решение:

  1. Предположим,что реакциишарнира будутнаправленыследующимобразом:

    перпендикулярновверх,
    горизонтальновправо (см. рис.),а реакция подвижногошарнира В
    направленаперпендикулярновверх.
  2. Рассчитаемрезультирующеераспределениенагрузки

приложенак балке подцентром тяжестиэпюры (т.е. посерединеАС)
  1. Введём системукоординат сосями

    и
    причём
    ;
    ;теперь спроецируемвсе имеющиесяв системе силына выбранныеоси: (сила скользирующийвектор)

,
,
,

,
,
  1. Составимуравнениеравновесиясистемы сил.Для равновесияпроизвольнойплоской системысил необходимои достаточно,чтобы суммыпроекций всехсил на оси координатбыли = 0, а такжесумма моментоввсех сил относительнокакой-либоточки плоскостибыла = 0.

  1. В нашей системе3 неизвестных=> составимуравнениеравновесиямоментов силсистемы. Дляпростоты выберемза моментнуюточку пересечениялиний действия

    и
    т.е. точку А.

(Против часовойстрелки берёмс плюсом, посминусом)

,т.к. значение
направлениевыбрано правильно
  1. Теперьподставимзначение

    в уравнения1 и 2

,т.к.
направлениебыло выбраноправильно.

,
истинное направлениепротивоположновыбранному.

Проверка:

Для проверкинужно составитьуравнениемоментов, причёмчерез моментнуюточку не должныпроходить линиидействия реакций=> Возьмём замоментную точкуN (N находится налинии действия

за 1 м от СА)

;
,т.к.
результатполученныйпри сложениимоментов силпогрешность.