«компьютерные методы в физике» (стр. 1 из 3)

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Физический факультет

Движение тела переменной
массы

Курсовая работа
по курсу «компьютерные методы в физике»
студента 214 группы
Юшкова Константина

Преподаватель
доцент С. А. Шлёнов

Москва - 2003

Аннотация

В задаче рассматривается пример старта ракеты с поверхности различных планет солнечной системы и их спутников; сравниваются характеристики ракет с различным числом ступеней и их пригодность для выполнения различных задач; исследуется влияние сил инерции на движение ракеты в процессе полёта; находится необходимая масса топлива для полёта с некоторых планет солнечной системы.

Постановка задачи

Выполнить компьютерное моделирование движения тела переменной массы на примере старта ракеты с поверхности планеты.

Теоретическое введение

1. Уравнение Мещерского.

Рассмотрим движение тела переменной массой во внешнем силовом поле. Уравнение Ньютона в общем виде

, (1)

переписанное в системе центра масс, примет вид:

, (2)

где

- скорость истечения газа. Вводя обозначение и учитывая характер внешнего силового поля , образованного силами притяжения и инерции, перепишем уравнение (2) как

(3)

где

- сумма внешних сил, действующих на тело; - масса ракеты. Уравнение (3) называется уравнением Мещерского [1, 2]. Величина представляет собой реактивную силу тяги.

2. Формула Циолковского

Рассмотрим движение ракеты в отсутствие внешних сил. Уравнение движения в скалярном виде (с учётом того, что векторы

и противоположно направлены) будет иметь вид:

. (4)

Это уравнение с разделяющимися переменными; проинтегрировав его в конечных пределах

, (5)

получим:

; (6)

эта формула называется формулой Циолковского [3]. Из неё следует, что для сообщения телу массой

конечной скорости v требуется, без учёта затрат на преодоление сил тяжести, масса топлива, равная

. (7)

Рассмотрим теперь модель, в которой учитывается однородное поле тяжести

(знак минус означает, что поле направленно против движения ракеты), можно получить

, (8)

где

- полное время работы двигателей. При постоянном расходе топлива

(9);

так как

, то уравнение (8) - трансцендентное уравнение относительно . Максимальное ускорение одноступенчатой ракеты в такой модели определяется соотношением , то есть

, (10)

так как в широком диапазоне реализуемых начальных условий

.

Применяемые модели

Рис. 1. Выбор локальной системы координат

В данной задаче производится численное интегрирование уравнения Мещерского для движения ракеты во внешнем силовом поле. Рассматривается двумерная задача движения ракеты, стартующей с экватора планеты в её экваториальной плоскости. Задача рассматривается в декартовой системе координат с началом отсчёта в точке старта ракеты (см. рис. 1). Начальный угол старта ракеты может изменяться в направлении вращения планеты. При движении тела учитывается изменение силы тяжести с высотой[1] и центробежная сила инерции, а также имеется возможность учитывать или не учитывать силу Кориолиса

( – угловая скорость вращения планеты; для некоторых рассматриваемых планет величина ω не определена). Ракета считается материальной точкой. Таким образом, в выбранной системе отсчета (x, y) уравнения движения (2) принимают вид:

, (11)

где

- расстояние от центра планеты до точки нахождения ракеты, - угол между направлением движения ракеты и вертикалью; сила тяги определяется скоростью истечения газа, которая постоянна по величине ( ) и направлена противоположно .

В программе реализована возможность выбирать режим работы двигателя:

1. Неограниченное ускорение (одноступенчатый режим). Расход топлива и сила тяги двигателя постоянны на протяжении всего процесса ускорения и определяются при запуске.

2. Двухступенчатый режим. Два фиксированных режима. Начальный расход топлива определяется при запуске; при израсходовании 0.5 начальной массы топлива расход уменьшается в 2 раза, а масса ракеты единоразово уменьшается на 10 т. В дальнейшем режим работы двигателей не меняется. Максимальное ускорение a_max=½ a₁[2].

3. Трёхступенчатый режим. После отработки половины топлива расход уменьшается в 2 раза, а масса на 15 т. После отработки 90% начальной массы топлива расход уменьшается ещё в 2 раза, а масса на 5 т. Максимальное ускорение a_max=¼ a₁

4. Режим с ограниченным ускорением. Авторегулируемый режим. Ускорение ракеты ограничено величиной

. Если ускорение превышает величину , то расход топлива уменьшается до такой величины, чтобы ускорение стало равно . Таким образом, ускорение системы поддерживается в диапазоне ; за счёт этого расход топлива и сила тяги постепенно уменьшаются с высотой.

Интегрирование уравнений движения (11) производится по схеме Эйлера с фиксированным шагом интегрирования

(12)

Выбор шага интегрирования производился с учётом анализа работы программы. Увеличение шага интегрирования приводит к потере устойчивости решения. Например, при

нарушается устойчивость решения. Выбранное значение обеспечивает в исследуемом диапазоне начальных условий, приближённых к реальным параметрам ракет, непрерывность и гладкость (в пределах погрешностей округления) решений по параметрам M_f, m₀, μ, требуемые соответствующими теоремами (см. [4], гл.VII, §3). При таком выборе решение задачи (12) с соответствующими граничными условиями

(13)

является устойчивым (см. [4], гл.VII, §6).

Дальнейшее уменьшение шага интегрирование до величин, меньших

замедляет работу программы, но практически не влияет на решение задачи.