- одна из первых попыток экономико-математического моделирования механизма движения финансов, предпринятая во Франции врачом и экономистом Франсуа Кенэ;
- введение Карлом Марксом алгебраических формул с помощью таблиц Кенэ и его мечта «вывести главные законы кризисов»;
- книга французского математика Антуана Курно «Исследование математических принципов теории богатства», выпущенная в 1838 г.;
- статистическая модель системы экономического равновесия, введённая в 1874 г. Швейцарским экономистом Л. Вальрасом, и модель распределения доходов населения, предложенная итальянским экономистом В. Парето.
- «задача о землекопе» - одна из первых задач, решенных на основе математического подхода, сформулированная Фредериком Тейлором в 1885 г.;
- описание в 1911 г. русским экономистом И. Дмитриевым балансовых соотношений «продукты-ресурсы» с помощью линейных алгебраических выражений;
- идея о составлении плана как результата решения оптимизационной задачи, сформулированная в 1920-х гг. С. Г. Струмилиным;
- необходимость плавного изменения показателей, согласованности элементов системы, кратчайшего пути к цели, как требования к плану, отмеченные В. А. Базаровым;
- основы экономико-математических моделей «затраты-выпуск» для межотраслевых связей, введённые в 1930-х гг. профессором Массачусетсткого технологического института В. Леонтьевым;
- задача: как наилучшим образом распределить работу восьми станков фанерного треста при условии, что известна производительность каждого станка по каждому из пяти видов обрабатываемых материалов, поставленная в 1938 г перед двадцатипятилетним профессором ЛГУ Л. В. Канторовичем;
- исторически общая задача линейного программирования, поставленная в 1947 г. Дж. Данцигом и М. Вудом в департаменте ВВС США;
- транспортная задача, сформулированная в 1941 г. Хичкоком и независимо от него Купмансом в 1947 г., задача о диете, сформулированная Стиглером в 1945 г.;
- успешное решение задачи линейного программирования на ЭВМ «Seac» в 1952 г. в Национальном бюро стандартов;
- интенсификация исследований в трудах Гасса, Баранкина и Дорфмана (квадратичное программирование), Беллмана и Дрейфуса (нелинейное программирование);
- значительные работы в 1950-1960-х гг. в области экономико-математического моделирования в России: «Экономический расчёт наилучшего исследования ресурсов» Л. В. Канторовича (1959), «Применение математических методов в вопросах анализа грузопотоков» Л. В. Канторовича, М. К. Гавурина (1949), работы В. В. Новожилова по оптимальному планированию народного хозяйства.
- создание в 1960 г. академиком В. С. Немчиновым при Новосибирском отделении АН СССР лаборатории экономико-математического моделирования, организация в Киеве института кибернетики, возглавляемой академиком В. М. Глушковым;
- объяснить, в каком случае существуют задачи математического программирования;
- объяснить, в каком случае не возникает проблемы поиска допустимого решения.
2. Классификация экономико-математических методов и моделей
План:
А) Этапы принятия решений
Б) Классификация задач оптимизации
В данном пункте плана рассмотреть вопросы:
- в каком случае применяют волевой выбор;
- в чём заключается критериальный выбор;
- какой вариант называют оптимальным, какую задачу называют задачей оптимизации;
- что такое целевая функция;
- к чему сводится решение задачи оптимизации;
- какие данные называют детерминированными;
- какие данные называют случайными величинами;
- что предполагает оценка максимин;
- на что ориентирует оценка минимакс;
- что такое непрерывные величины;
- что такое дискретные, или целочисленные величины;
- какие зависимости называют линейными;
- какие зависимости называют нелинейными;
В) Классификация экономико-математических методов
В данном пункте плана рассмотреть вопросы:
- что такое задача линейного программирования;
- что такое задача нелинейного программирования;
- что такое задача выпуклого программирования;
- что такое задача квадратичного программирования;
- что такое задача целочисленного программирования;
- что такое задача параметрического программирования;
- что такое задача динамического программирования;
- что такое задача стохастического программирования;
3. Линейное программирование
План:
А) Постановка задачи линейного программирования
В данном пункте плана рассмотреть вопросы:
- задачи распределения ресурсов;
- что такое задачи линейного программирования;
- что содержит каждая задача линейного программирования;
Б) Экономическая интерпретация задач линейного программирования
В данном пункте плана составить математические модели задачи и найти оптимальные решения.
Требуется определить план выпуска четырёх видов продукции А, В, С, D, для изготовления которых используются ресурсы трёх видов: трудовые, материальные, финансовые. Количество каждого i-го вида ресурса для производства каждого j-го вида продукции называют нормой расхода и обозначают aij. Количество каждого вида ресурса, которое имеется в наличии, обозначают bi (табл.).
| Ресурсы (i) | Вид продукции (j) | Запас ресурса (bi) | |||
| А | В | С | D | ||
| Удельный расход ресурсов (aij) | |||||
| Трудовые | 6 | 4 | 2 | 1 | 800 |
| Материальные | 7 | 9 | 11 | 5 | 2000 |
| Финансовые | 3 | 4 | 5 | 6 | 12000 |
| Граница нижняя | 1 | - | 3 | - | - |
| Граница верхняя | 12 | 2 | - | - | - |
| План | х1 | х2 | х3 | х4 | - |
Пусть для продукции видов А, В, С, D прибыль от реализации единицы продукции каждого вида составит соответственно 5, 6, 7 и 8 денежных единиц, а суммарная прибыль от всего производства должна быть не менее 3000 денежных единиц.
Пусть F – ресурсы, R – результат их применения. При заданных зависимостях результата и потребных ресурсов от количества выпускаемой продукции R=R(xj), F=F(xj) сформулировать две постановки распределения ресурсов. Для каждой постановки найти своё оптимальное решение. Сделать важные для эффективного менеджмента предприятия выводы.
В) Проверка сбалансированности планов
В данном пункте плана показать, как можно обеспечить условие сбалансированности на примере первой постановки задачи из пункта Б плана. Только теперь в связи с изменением рыночной ситуации продукцию А необходимо выпускать в количестве не менее 15, В – не менее 5, С – не менее 2 единиц. Изделия D с производства снимаются как не пользующиеся спросом. Взамен планируется запустить технологически подобные, но более совершенные изделия S, на которые потенциальные потребители могут предъявить, по пессимистическим оценкам, платёжеспособный спрос в объёме 500 единиц. Это позволяет предприятию планировать получение прибыли в размере не менее 5000 денежных единиц.
Новое условие задачи представлено в таблице
| Ресурсы (i) | Вид продукции (j) | Запас ресурса (bi) | |||
| А | В | С | S | ||
| Удельный расход ресурсов (aij) | |||||
| Прибыль на единицу продукции | 5 | 6 | 7 | 8 | - |
| Трудовые | 6 | 4 | 2 | 3 | 800 |
| Материальные | 7 | 9 | 11 | 5 | 2000 |
| Финансовые | 3 | 4 | 5 | 6 | 12000 |
| Граница нижняя | 15 | 5 | 2 | 500 | - |
| Граница верхняя | - | - | - | - | - |
| План | х1 | х2 | х3 | х4 | - |
Для обеспечения условия сбалансированности нужно:
- убедиться, что данная задача не имеет решения, так как она не сбалансирована по ресурсам;
- поскольку задача оказалась несбалансированной, то составить модель с учётом возможной нехватки ресурсов, введя переменные d1, d2, d3 – количество ресурсов каждого вида, необходимое дополнительно для выполнения скорректированного плана производства;