Смекни!
smekni.com

«Преобразование Хартли. Теория и приложения» (стр. 1 из 5)

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Уральский государственный горный университет

Институт геологии и геофизики Кафедра геоинформатики

620144 , г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30

Тел. (343) – 2576661. E-mail: Pisetski@hotmail.com

РЕФЕРАТ

Преобразование Хартли

Краткое содержание работы Р. Брейсуэлла

«Преобразование Хартли. Теория и приложения», М: Мир, 1990.

Курс: Теория цифровой обработки данных

Выполнила: Балаева Л.А.

E-mail: balaeva-lydmila@yandex.ru

Руководитель: проф. Давыдов А.В.

E-mail: prodav@yandex.ru

Содержание.

1. Введение.

2. Преобразование Хартли.

2.1. Четная и нечетная составляющие.

2.2. Формулы связи.

2.3. Энергетический и фазовый спектры.

3. Теоремы.

3.1. Соответствие операций.

3.2. Свертка.

4. Дискретное преобразование Хартли.

4.1. Физический смысл величин τ и ν.

4.2. Чётная и нечётная составляющие.

4.3. Степени свободы.

4.4. Другие вещественные ядра.

4.5. Теоремы, связанные с ДПХ.

4.6. Выводы по ДПХ.

5. Заключение.

Без сохранения форматирования исходного документа

Екатеринбург

2005

Введение.

Преобразование Хартли, как и преобразова­ние Фурье, может применяться для спектрального анализа и различных видов обработки сигналов. Данный вид преобразования назван в честь Р. Хартли, опубликовавшего в 1942 г. статью о паре интегральных преобразований - прямом и обратном, использующих введенную им функцию

. До начала 1980-х годов эти результаты оставались в забвении, пока к ним не привлек внимание исследователей Р. Брейсуэлл, разработавший основы тео­рии как непрерывного, так и дискретного преобразования Хартли, а также один из вариантов его быстрого преобразования.

Непрерывный прогресс в области обработки информации связан с задачами всевозрастающей сложности. Обращение к преобразованию Хартли обусловлено ситуацией, сложившейся в ряде методов обработки информации, в частности использующих вещественные последовательности данных (одномер­ных и двумерных). Обработку таких данных желательно осуществ­лять в области вещественных чисел с помощью взаимно симмет­ричных прямого и обратного преобразований. В отличие от преоб­разования Фурье, отображающего вещественные функции в ком­плексную область и несимметричного по i (происходит изменение знака при переходе от прямого к обратному преобразованию), пре­образование Хартли осуществляет прямое и обратное преобразо­вания только в вещественной области и обладает указанной сим­метрией.

В своём реферате я постараюсь изложить на основе теории и практических примеров некоторые основные аспекты преобразо­вания Хартли.

Эта тема является актуальной, так как в настоящее время преобразование Хартли находит широкое применение при разработке двумерных и трехмерных быстрых пре­образований, быстрых алгоритмов интерполяции и т.д.

Хартли ввел пару формул.

.

В этих соотношениях для функции cas мы будем следовать определению автора, в соответствии с которым эта функция представляет собой сумму косинуса и синуса одного и того же аргумента cas t = cos t + sin t.

2. Преобразование Хартли.

В определение Хартли для преобразования y (w) в явном виде был включен коэффициент 1/

для получения симметричного вы­ражения. Если опустить этот коэффициент, то оба интеграла одновре­менно не могут быть корректными. Однако следует признать не­целесообразным сохранение пары таких специфических коэффициен­тов, особенно при выполнении численных расчетов. Многие авторы отреагировали на подобную ситуацию применительно к преобразо­ванию Фурье рассмотрением функции
S(w) вместо S(w).В результате коэффициент 1/
исчезает в определении прямого преобразования Фурье, однако в формуле обратного преобразования Фурье появляется коэффициент 1/2p. Таким образом, эти авторы намеренно жертвуют симметрией формул. Справедливо замечание, что это дополнительная нагрузка для памяти, так как приходится запоминать, какая из формул содержит величину 2p .Один способ запоминания состоит в том, что коэффициент 1/2p стоит перед интегралом, в котором фигурирует дифференциал dw, что означает наличие величины вида w/2p , т. е. циклической частоты f. Отсюда естественно возникает вопрос: почему непосредственно не иметь дело с частотой? Именно к этому выводу в течение многих лет склонялось мнение разных исследователей. Приверженцев использования коэф­фициента 1/
в настоящее время практически уже нет, тогда как имеется достаточное количество сторонников правомерности записи dw/2p; но общепринятой практикой является применение множителя 2p под знаком экспоненты в интегралах для прямого и обратного преобразований. Данная процедура реализуется автоматически при использовании частоты
вместо угловой частоты w. При этом имеем

2.1.Четная и нечетная составляющие.

Взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли базируется на анализе свойства симметрии. Для пояснения этого представим

в виде четной и нечетной компонент
и
соответственно. Четная компонента определяется как полусумма функции
и ее зер­кального изображения, т.е. функции
. Нечетная компонента определяется как полуразность этих функций и обладает свойством антисимметрии, а именно
. Любая функция может быть представлена однозначно в виде суммы четной и нечетной компонент, и, обратно, при заданных четной и нечетной компонентах однозначно может быть восстановлена исходная функция. Одним из интересных свойств четной и нечетной компонент является равенство суммы их энергий энергии самого процесса.

Для установления связи преобразования

с преобразованием Фурье
функции
примем следующее определение.

Пусть

где
и
- соответственно четная и нечетная составляющие функции
. Тогда

Эти два интеграла известны под названиями соответственно косинус- и синус-преобразование Фурье.

Для иллюстрации чётной и нечётной составляющей рассмотрим ряд примеров:

Пример №1. Рассмотрим функцию вида

, которая в момент времени t = 0 имеет еди­ничный скачок, а затем монотонно убывает по экспоненциальному закону. В данном выражении фигурирует единичная ступенчатая функция Хевисайда H(t), которая определяется следующим образом:

Заметим, что значение функции

, т. е.
при t = 0, не определено. Причина этого заключается в следующем. Рассмотрим две функции
и
, которые совпадают с
при
, но в отличие от
определены при t = 0. Пусть На(0) = а и Нь(0) = b. Тогда разность
-
представляет собой нулевую функцию. Поскольку рассматриваются интегралы, на их величину не влияет выбор какого-либо определенного конечного значения Н(0).