Нестандартные задачи на олимпиадах по математике Учебно (стр. 1 из 5)

МОУ «Новошимкусская средняя общеобразовательная школа Яльчикского района Чувашской Республики»

Нестандартные задачи

на олимпиадах по математике

Учебно-исследовательская работа

Выполнил:

Кузнецов Алексей

учащаяся 11 «а» класса

Руководитель:

Кириллова С.М.

Учитель математики.

2007г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение................................................................................................ 3

2. Нестандартные задачи:

Основные сведения................................................................................ 6

Чет и нечет............................................................................................. 7

Делимость…………………………………………………………………12

Инварианты………………………………………………………………..13

Вспомогательные раскраски в шахматном порядке……………………16

Задачи о раскрасках………………………………………………………18

3. Заключение………………………………………………………………20

4. Литература…………………………………………………………………………..22

5. Рецензия…………………………………………………………………..23

Введение

Каждый год в школе проводится I тур математической олимпиады, затем городская олимпиада и т.д. А олимпиадные задачи, как правило, являются нестандартными, т.е. требующими использования всех знаний в нестандартных ситуациях. Наша учебно-исследовательская работа посвящена такому актуальному вопросу, как нестандартные задачи на олимпиадах по математике, потому что эта тема показалась нам наиболее интересной. Еще в позднегреческой математике, уже знакомой с систематическими пособиями типа евклидовых «Начал», значительное место принадлежало и сборникам математических развлечений и занимательным задачам. Такой характер имели выдающиеся произведения Паппа Александрийского, Пифагора Самосского и Никомаха Геразского. Прошли века, но интерес к занимательным математическим задачам не угас. Можно отметить многих научных деятелей, занимающихся этой проблемой. Это Мартин Гарднер, Генри Э. Дьюдени, Сэм Лойд, Льюис Керрол, Г. Штейнгауз, Я.И. Перельман, Б.А. Кордемский. «Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Все это расширяет сферу ее приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении. Даже юристы и историки берут на свое вооружение математические методы», - говорил А.Д. Александров, и с ним нельзя не согласиться.

Какая же задача называется нестандартной? «Нестандартные задачи- это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.» (Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи.- Москва. Просвещение 1989г). Однако, следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной, в зависимости от того, знакомы ли мы со способами решения задач такого типа. Таким образом, нестандартная задача- это задача, алгоритм которой неизвестен, т.е. неизвестен ни способ её решения, ни то, на какой учебный материал опирается решение. А многие задачи требуют и специальных знаний, подготовки. К таким задачам относятся задачи на применения инвариантов, задачи на раскраски, чет и нечет. Конечно, для успешного решения любой задачи нужно уметь думать, догадываться, но этого мало. Нужны знания и опыт в решении задач. Полезно владеть и определенными общими подходами к решению таких задач. Поэтому мы решили разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие подходы. Любая задача должна чему-нибудь научить. Решение каждой задачи должно быть шагом вперед в развитии математических знаний, умений и навыков, должно обогащать знания и опыт, учить ориентироваться в различных ситуациях.

В своей работе мы затрагиваем проблему решения нестандартных задач. Материалом исследования послужили работы не только русских научных деятелей, таких как Петраков, Игнатьев, но и зарубежных, к ним относятся Леман, Лойд, Гик, Беррондо, Лиман. Целью нашей учебно-исследовательской работы является исследование и изучение основных типов нестандартных задач, ознакомление с их решениями. Были поставлены такие задачи: изучить и понять нестандартные задачи, выявить общие подходы, наработать навыки в решении таких задач. Объектом нашего исследования являются разные нестандартные задачи: задачи на чет и нечет, задачи на делимость, инварианты, раскраски в шахматном порядке, задачи о раскрасках. А предмет исследования - способы решения таких задач. Методы изучения нашей проблемы: изучение литературы, нарабатывание способов решения, поиск правильного решения задач.

Две стихии господствуют в математике - числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Задача- это почти всегда поиск, раскрытие каких-то свойств и отношений, а средства её решения- это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики. Эти же качества человеческого ума воспитываются, укрепляются, обогащаются у каждого, кто регулярно отдает часть своего досуга умственной гимнастике, лучшим видом которой является решение математических головоломок, ребусов, задач с интригующим содержанием.

В нашей работе отдано предпочтение стихии чисел. Такая одноплановость состава задач не уменьшает ни удовольствия, ни пользы от самостоятельного поиска их решения.

Само возникновение понятия числа - одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительно, числа помогают не только что-то измерять, сравнивать, вычислять, но даже рисовать, сочинять, делать умозаключения, выводы.

Некоторые из предлагаемых нами задач далеки по форме и содержанию задачам школьных учебников. Но те и другие задачи нацелены на проникновение разумом в удивительный мир чисел и линий, на раскопку его богатств, на возбуждение математической любознательности и собственной инициативы, что мы и попробуем сделать в своей работе.

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ

Делимость, инварианты, раскраски

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1. В ряде задач встречается следующая ситуация. Некоторая система последовательно изменяет своё состояние, и требуется выяснить нечто о её конечном состоянии. Полностью проследить за всеми переходами может оказаться делом сложным, но иногда ответить на требуемый вопрос помогает вычисление некоторой величины, характеризующей состояние системы и сохраняющейся при всех переходах (такую величину называют инвариантом для рассматриваемой системы). Ясно, что тогда в конечном состоянии значение инварианта будет то же самое, что и в начальном, т.е. система не может оказаться в состоянии с другим значением инварианта.

2. На практике этот метод сводится к тому, что некоторая величина вычисляется двумя способами: сначала она просто вычисляется в начальном и конечном состояниях, а затем прослеживается её изменение при последовательных мелких переходах.

3. Наиболее простым и часто встречающимся инвариантом является четность числа; инвариантом может быть также и остаток от деления не только на 2, но и на какое-нибудь другое число. Для построения инвариантов иногда бывают полезны вспомогательные раскраски, т.е. разбиения рассматриваемых объектов на несколько групп (каждая группа состоит из объектов одного цвета).

Чет и нечет

1.

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого: а) (2n + 1)-угольника; б) 2n-угольника?

Решение:

а) Пойдем методом от противного. Пусть прямая пересекает

все стороны многоугольника. Рассмотрим все вершины, лежащие по одну сторону от неё. Каждой из этих вершин можно поставить в соответствие пару сторон, из неё выходящих. При этом получим разбиение всех сторон многоугольника на пары.

Получено противоречие, поэтому построить прямую, которая бы пересекала (2n + 1)-угольник во всех внутренних точках нельзя. Поэтому, если прямая пересекает все стороны многоугольника, то количество сторон четно.

б) Рис.2 показывает, как можно построить 2n-угольник и

прямую, пересекающую все его стороны, при любом n.

2. На плоскости лежат три шайбы А, В и С.

Хоккеист

бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя

другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после 25 ударов?

Решение: Нет, не могут. После каждого удара изменяется ориентация (т.е. направление обхода) треугольника АВС. Даже если шайбы будут проходить одинаковый путь, то они не вернутся на свои первоначальные места, т.к. число 25 не делится на 3.