Тема : Математичне забезпечення САПР.
1. Загальні поняття та вимоги до МЗ.
2. Способи отримання математичних моделей.
3. Постановка задач оптимізації.
4. Класифікація і характеристика методів оптимізації.
1.
МЗ включає в себе мат. методи, мат. моделі та алгоритми.
Мат. моделі описують взаємозв’язки параметрів об’єкту, а також дозволяють оцінити наслідки проектних рішень. Важливою перевагою мат. моделей є можливість одержати інформацію про об’єкт проектування без проведення натуральних експериментів.
Основні вимоги до мат. моделей:
1) універсальність;
2) точність;
3) адекватність;
4) економічність.
1) Універсальність – мат. моделі – означає можливість її застосування для аналізу певної групи об’єктів.
2) Точність м.м. – оцінюється мірою співпадання даних, отриманих по м.м. із реальними даними.
3) Адекватність м.м. – здатність відображати властивості об’єкту із похибкою не вище заданої.
4) Економічність м.м. – характеризується затратами обчислюваних ресурсів на її реалізацію.
До обч. ресурсів відносять:
1) час, який необхідний для реалізації мат. моделей.
2) об’єм машинної пам’яті.
2. Способи отримання мат.моделей.
Існує три отримання м.м.:
1) Аналітичний;
2) Експериментально-аналітичний;
3) Експериментальний.
Суть аналітичного способу отримання м.м. полягає в застосуванні класичних законів фізики, хімії та ін.наук.
Суть експериментально-аналітичного методу полягає в обчисленні значень коефіцієнтів для насамперед відомої моделі.
Для отримання мат. моделей експериментальний метод – 9.3. док. необхідно реалізувати сукупність експериментальних досліджень, серію дослідів тощо.
Експериментальні дослідження можуть проводитись за класичним способом та за допомогою математичного планування експериментів.
Недолік класичного методу – це велика кількість дослідів.
Перевага – вища точність опису.
Мат. програмування експерименту дозволяє побудувати мат. залежності (м.м.) при значно меншій кількості дослідів.
Найширше для опису процесів та об’єктів д/о застосовуються: повнофакторні плани (ПФП); плани Бокса (В); а також центральні композиційні уніфориронтотабельні плани (УКУРП).
Класичн. 52 = 25
ПФП N = 2R = 4
| X1 | X2 | Y |
| X1min | X2min | Y1 |
| X1max | X2min | Y2 |
| X1min | X2min | Y3 |
| X1min | X2min | Y4 |
Y = b0+b1x1+b2x2+b12 * x1x2
Перевага – менша кількість дослідів.
Недолік – точність опису гірша.
Якщо модель 1-го порядку неадекватна, то переход. до планів Бокса, та до УКУРП.
Реалізація цих планів дозволяє отримати мат. моделей у вигляді рівняння регресії 2-го порядку.
де:
y – значення вихідного параметра (критерія оптимізації);
b0 – значення вільного члена;
bi – значення лінійних коефіцієнтів;
bii – значення квадратних коефіцієнтів;
bij – значення коефіцієнтів парної взаємодії;
xi – значення вхідних факторів.
3. Загальна постановка задач оптимізації.
2 види м.м.
1) описового характеру;
2) оптимізаційні.
Після побудови м.м. проектувальник здійснює її оптимізації:
1) вибір оптичного типу об’єкта;
2) вибір оптимальної конструктивної схеми;
3) оптимізацію параметрів об’єкту;
4) пошук оптимального управління об’єктом;
5) оптимізацію допусків та параметрів.
Після побудови м.м. формуємо функцію мети (критерії оптимізації).
Функція мети – кількісний показник, який дозволяє оцінити ефективність прийнятих рішень.
Критерії (показники) оптимізації поділяються на 3 групи:
1) технічні;
2) техніко-економічні;
3) екологічні.
1 – надійність, енерго- та металомісткість, тривалість служби.
2 – продуктивність, собівартість, рентабельність і ін.
3 – оцінюють вплив проектованого об’єкту на довкілля.
Після побудови функції мети формують обмеження на параметри (продуктивний облад.; габаритні розміри меблевих виробів, к.к.д., швидкодію та ін.).
Після цього приступаємо до вибору методу оптимізації.
Для оптимізації використовуються:
1) Класичні або аналітичні методи (диференційне числення, варіаційне числення, метод многочленів Лагранжа).
2) Методи мат. програмування:
а) лінійне;
б) нелінійне;
в) динамічне;
г) стохастичне програмування.
(стохастична – випадковість в часі).
Лінійне програмування – використовується в тих випадках, коли функція мети та обмеження мають лінійний характер (Simplex - метод).
Нелінійне програмування – застосовується в тих випадках, коли функція мети або обмеження є нелінійним (методи сканування, градієнтні).
Стохастичне програмування - …, коли маємо справу із випадковими факторами.
Динамічне програмування – використовується для оптимізації дискретних об’єктів, які можна природно або умовно поділити на окремі стадії в часі або просторі.