: к/=.
8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1):
у-у1=к(х-х1)
9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2):
10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
11. Загальне рівняння прямої:
Ах+Ву+С=0, (А2+В2¹0).
12. Відстань від точки (х1,у1) до прямої Ах+Ву+С=0:
d=
13. Рівняння кола з центром (х0,у0) і радіусом R:
(х-х0)2+(у-у0)2=R2
14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в:
(1)
Фокуси еліпса F(c;0) i F/(-c;0), де с2=а2-в2
15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1):
r=a-Ex; r/=a+Ex,
де Е= - ексцентриситет еліпса.
16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в:
(2)
2
нерівностями a£x£b, y1(x)£y£y2(x), z1(x, y)£z£z2(x, y)
де yi(x), zі(x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z)можна обчислити за формулою:
.
Для заміток.
І. Аналітична геометрія на площині.
1. Паралельне перенесення системи координат:
х'=х-а, у'=у-в,
де О' (а;в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [х';у'] - її нові координати.
2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):
х= х'cosa- у'sina; y= x'sina+ y'cоsa,
де (х,у) - старі координати точки, [х',у'] - її нові координати, a- кут повороту.
3. Відстань між точками (х1,у1) і (х2,у2):
d=
4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1,у1) і (х2,у2) в даному відношенні l:
x=y=.
При l=1, маємо координати середини відрізка:
х=у=.
5. Площа трикутника з вершинами (х1,у1), (х2,у2) і (х3,у3):
S=.
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
у=кх+в,
де к=tgj(кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох,
в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.
7. tgq= - тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/.
Умова паралельності прямих: к/=к.
1
24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в:
x=a cos t, y=b sin t.
25. Параметричні рівняння циклоїди:
x=a(t-sin t), y=a(1-cos t).
II. Диференціальне числення функцій
однієї змінної.
1. Основні теореми про границі:
а)
б)
Зокрема,
в)
2. Чудові границі:
а) б)
3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:
lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429…
4. Приріст функції у=f(x),що відповідає приросту аргументу х:
5. Умова неперервності функції у=f(x):
Основна властивість неперервної функції:
6. Похідна
Геометрично y /=f /(x) - кутовий коефіцієнт дотичної до
4
XI. Подвійні та потрійні інтеграли.
1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y), розповсюдженим на область S, називається число:
, (1)
де (хі, уі) є DSi (і=1, 2,…n)і d – найбільший діаметр комірок DSi.
Якщо f(x, y)³0, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y).
2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями a£x£b, y1(x)£y£y2(x),
де y1(x),y2(x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:
.
3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j і r,
де x=r cosj, y=rsinj має вигляд:
Якщо область інтегрування Sвизначається нерівностями:a£j£b, r1(j)£r£r2(j), то
4. Якщо r=r(х, у) – поверхнева густина пластини S, то її
маса є (2)
25
(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r=1 отримуємо формулу площі пластинки
5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами:
,
де r=r(х, у) – поверхнева густина пластинки S.
6. Координати центра мас пластинки S визначаються за
формулами: , , (3)
де m – маса пластинки.
Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r=1.
7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:
, ,
де r=r(х, у) – поверхнева густина пластинки.
8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V, називається число:
, (4)
де (xi, yi, zi) є DVi(i=1, 2, 3,…n), d – найбільший діаметр комірок DVi .
Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V.
9. Об¢єм тіла Vдорівнює: .
10. Якщо область інтегрування V визначається
26
Фокуси гіперболи F(c;0)і F/(-c;0), де с2=а2+в2
17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2):
r=±(Ex-a), r/=±(Ex+a),
де Е= - ексцентриситет гіперболи.
18. Асимптоти гіперболи (2):
у=.
19. Графік оберненої пропорційності
ху=с (с¹0)
- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.
20. Канонічне рівняння параболи з параметром р:
у2=2рх
Фокус параболи: F(p/2, 0):рівняння директриси: х=-(р/2); фокальний радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2).
21. Графік квадратного тричлена
у=Ах2+Вх+С
- вертикальна парабола з вершиною
22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у:
rtgj=
Прямокутні координати точки з полярними координатами
r і j.
x=r cosj, y=r sinj.
23. Параметричні рівняння кола радіуса Rз центром в початку координат:
x=R cos t, y=R sin t. (t - параметр)
3
f¢/(x0)=0або f¢/(x0)не існує.
б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x0:
1) f¢/(x0)=0, f¢/(x0-h1)f¢/(x0+h2)<0при довільних досить малихh1>0і h2>0, або
2) f¢/(x0)=0, f¢¢/(x0)¹0
12. - Графік функції y=f(x)вгнутий (або випуклий вниз) якщо f¢¢/(x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f¢¢/(x)<0.
- Необхідна умова точки перегинy графіка функції
y=f(x) при x=x0: f¢¢/(x0)=0 або f¢¢/(x0)не існує.
- Достатня умова точки перегину при х=х0:
f ¢¢(x0)=0, f¢¢/(x0-h1)f''(x0+h2)<0 при будь-яких досить малих h1>0, h2>0.
13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] і f(a)f(b)<0,то корінь x рівняння f(x)=0наближено можна обчислити за формулами:
а) (метод хорд)
б) , де f ¢(a)¹0; f(a)-f¢(a)>0 (метод дотичних).
14. Диференціал незалежної змінної х: dx=∆x. Диференціал функції у=f(x):dy=y¢dx. Зв’язок приросту ∆y функції з диференціалом dy функції:
∆y=dy+a∆x, де a→0 при ∆х→0.
Таблиця диференціалів функцій.
1) dun=nun-1du; 7) d(ctg u)=-
2) dau=auln a du (a>0); deu=eudu; 8) d(arcsin u)=
3)d(logau)=; 9) d(arccos u)=-
6
| № п/п | Характер коренів k1i k2характеристичного рівняння | Вигляд загального розв¢язку |
| 1 | Корені k1i k2 дійсні і різні | |
| 2 | Корені рівні k1 = k2 | |
| 3 | Корені комплексні k1=a+іb k2=a-іb |
9. Таблиця 2.
Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у¢¢+ру¢+qy=f(x) (p i q - сталі) в залежності від правої частини f(x).