Розклад числа на прості множники (стр. 1 из 2)

Реферат на тему:

Розклад числа на прості множники

Означення. Розкладом натурального числа n на прості множники (факторизацією числа) називається представлення його у вигляді n = , де p_i– взаємно прості числа, k_i ³ 1 .

Задача перевірки числа на простоту є простішою за задачу факторизації. Тому перед розкладанням числа на прості множники слід перевірити число на простоту.

Означення. Розбиттям числа називається задача представлення натурального числа n у вигляді n = a * b, де a, b – натуральні числа, більші за 1 (не обов’язково прості).

Метод Ферма

Нехай n – складене число, яке не є степенем простого числа. Метод Ферма намагається знати такі натуральні x та y, що n = x² – y². Після чого дільниками числа n будуть a = x – y та b = x + y: n = a * b = (x – y)(x + y).

Якщо припустити що n = a * b, то в якості x та y (таких що n = x² – y²) можна обрати

,

Приклад. Виберемо n = 143 = 11 * 13.

Тоді x = (13 + 11) / 2 = 12, y = (13 – 11) / 2 = 1.

Перевірка: x² – y² = 12² – 1¹ = 143 = n.

Теорема. Якщо n = x² – y², то < x < (n + 1) / 2.

Доведення. З рівності n = x² – y² випливає, що n < x², тобто < x.

Оскільки a = n / b, то . Максимальне значення x досягається при мінімальному b, тобто при b = 1. Звідси x = < .

Отже для пошуку представлення n = x² – y² слід перебрати всі можливі значення x із проміжку [, (n + 1) / 2], перевіряючи при цьому чи є вираз x² - n повним квадратом.

Приклад. Розкласти на множники n = 391 методом Ферма. = 19.

20² – 391 = 9 = 3². Маємо рівність: 391 = 20² – 3².

Звідси 391 = (20 – 3)(20 + 3) = 17 * 23.

Алгоритм Полард - ро факторизації числа

У 1974 році Джон Полард запропонував алгоритм знаходження нетривіального дільника натурального числа n. Пр цьому алгоритм використовує лише операції додавання, множення та віднімання модулярної арифметики.

Ідея алгоритма Полард – ро полягає в ітеративному обчисленні деякої наперед заданої поліноміальної функції f з цілими коефіцієнтами. Побудуємо послідовність x_i наступним чином: x₀ оберемо довільним із Z_n, а x_i+1 = f(x_i) mod n, i ³ 0. Оскільки x_i можуть приймати лише скінченний набір значень (цілі числа від 0 до n), то існують такі цілі n₁ та n₂ (n₁ < n₂), що = . Враховуючи поліноміальність f, для кожного натурального k маємо: =, тобто починаючи з індекса i = n₁ послідовність {x_i mod n} буде періодичною.

Приклад. Нехай n = 21, x₀ = 1, x_i+1 = + 3 mod 21.

Тоді послідовність x_i має вигляд: 1, 4, 19, 7, 10, 19, 7, 10, ... .

Таким чином x₃ = x₆, період послідовності дорівнює 3.

Послідовність x_i можна відобразити у вигляді кола з хвостом: коло відповідає періодичній частині, а хвіст – доперіодичній. Картинка нагадує грецьку літеру r, тому метод який застосовується в алгоритмі називається r – евристикою. Послідовність із попереднього прикладу можна зобразити так:

Ідея алгоритму полягає в обчисленні для кожного i > 0 значення d = НСД(x_2i – x_i, n). Якщо на деякому кроці d > 1, то це і є нетривіальний дільник числа n.

Побудуємо послідовність елементів x_i наступним чином:

x₀ = 2, x_i+1 = f(x_i) = ( + 1) mod n, i > 0

Алгоритм

Вхід: натуральне число n, параметр t ³ 1.

Вихід: нетривіальний дільник d числа n.

1. a = 2, b = 2;

2. for i ¬ 1 to t do

2.1. Обчислити a ¬ (a² + 1) mod n; b ¬ (b² + 1) mod n; b ¬ (b² + 1) mod n;

2.2. Обчислити d ¬ НСД(a - b, n);

2.3. if 1 < d < n return (d); // знайдено нетривіальний дільник

3. return (False); // дільника не знайдено

Вважаємо, що функція f(x) = (x² + 1) mod n генерує випадкові числа. Тоді для знаходження дільника числа n необхідно виконати не більш ніж O() операцій модулярного множення.

Якщо алгоритм Поларда – ро не знаходить дільника за t ітерацій, то замість функції f(x) = (x² + 1) mod n можна використовувати f(x) = (x² + c) mod n, для деякого цілого c, c ¹ 0, -2.

Приклад. Нехай n = 19939.

Послідовність x_i: 2, 5, 26, 677, 19672, 11473, 12391, 6582, 15217, 5483, 15217, 5483, 15217, ... .

a	b	d
2	2	1
5	26	1
26	19672	1
677	12391	1
19672	15217	1
11473	15217	1
12391	15217	157

Знайдено розклад 19939 = 157 * 127.

Нехай n = 143. Послідовність x_i: 2, 5, 26, 105, 15, ... .

a	b	d
2	2	1
5	26	НСД(21, 143) = 1
26	15	НСД(11, 143) = 11

Знайдено розклад 143 = 11 * 13.

Ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації числа

Твердження. Нехай x та y – цілі числа, x² º y² (mod n) та x ¹ ±y (mod n). Тоді x² – y² ділиться на n, при чому жоден із виразів x + y та x – y не ділиться на n. Число d = НСД(x² – y², n) є нетривіальним дільником n.

Теорема. Якщо n – непарне складене число, яке не є степенем простого числа, то завжди існують такі x та y, що x² º y² (mod n), при чому x ¹ ± y (mod n).

Доведення. Нехай n = n₁ * n₂ – добуток взаємно простих чисел. Оберемо таке y, що НСД(y, n) = 1. Далі розв’яжемо систему рівнянь:

Розв’язком системи будуть такі x та y за модулем n = НСК(n₁, n₂), що x² º y² (mod n). Якщо при цьому припустити, що x º – y (mod n), то з другого рівняння системи маємо: y º – y (mod n₂), або 2 * y = 0 (mod n₂). Оскільки було обрано НСД(y, n₂) = 1, то з останньої рівності випливає що n₂ ділиться на 2, тобто є парним. Це суперечить умові теореми про непарність n.

Приклад. Виберемо n₁ = 11, n₂ = 13 – взаємно прості числа. Тоді n = 11 * 13 = 143. Покладемо y = 5, НСД(5, 143) = 1. Складемо систему порівнянь:

або

Розв’язком системи буде x º 60 (mod 143).

Має місце рівність 60² º 5² (mod 143) , при чому 60 ¹ ±5 (mod 143).

Тоді дільником числа n буде d = НСД(60 – 5, 143) = 11.

Формально ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації будується на наступній ідеї:

Нехай F = {p₀, p₁, p₂, …, p_t} – множникова основа, p_i – різні прості числа, при чому дозволяється обрати p₀ = -1. Побудуємо множину порівнянь

º z_i ,

таку що значення z_i є повіністю факторизованими у множині F :

,

та добуток деякої підмножини значень z_i є повним квадратом:

z = = y², y Î Z, f_i Î {0, 1}

Якщо множина порівнянь із вказаними властивостями побудована, то поклавши x = і перевіривши виконання нерівності x ¹ ± y (mod n), отри маємо x² º y² (mod n). Число d = НСД(x² – y², n) є нетривіальним дільником n.

Приклад. Знайти дільник числа n = 143.

Обираємо випадково число x Î [2, 142], обчислюємо x² (mod 143) та розкладаємо результат на множники:

1. z₁ = 19² (mod 143) = 75 = 3 * 5².

2. z₂ = 77² (mod 143) = 66 = 2 * 3 * 11.

3. z₃ = 29² (mod 143) = 126 = 2 * 3² * 7.

4. z₄ = 54² (mod 143) = 56 = 2³ * 7.

Можна помітити, що добуток z₃ та z₄ є повним квадратом:

z = z₃ * z₄ = 2⁴ * 3² * 7² = (2² * 3 * 7)² = 84²

Маємо рівність:

z₃ * z₄ = 29² * 54² º 84² (mod 143)

або враховуючи що 29 * 54 (mod 143) º 136, маємо:

136² = 84² (mod 143), при чому 136 ¹ ±84 (mod 143)

Дільником числа n = 143 буде d = НСД(136 – 84, 143) = НСД(52, 143) = 13.

Квадратичний алгоритм факторизації

Серед усіх існуючих алгоритмів факторизації найшвидшим є квадратичний. Він ефективно застосовується для чисел, кількість цифр яких менша за 100 та які не мають малих простих дільників. Еврістичний аналіз, проведений Померансом [1] у 1981 році показав, що число N може бути розкладено на множники за час .

Нехай n – число, яке факторизується, m = . Розглянемо многочлен