Структуровані типи даних Операції над двомірними масивами (стр. 1 из 3)

КУРСОВА РОБОТА

НА ТЕМУ:

«Структуровані типи даних.Операції над двомірними масивами »

Анотація

В цій курсовій роботі розглянуті дії над

матрицями , такі як додавання , віднімання, мно-

ження та ділення двох матриць. А також знаход-

ження транспонованої та оберненої матриць.Про-

грами реалізовані на мові програмування Turbo

Pascal 7.0

ЗМІСТ

1.Вступ.

2.Теоретична частина.

2.1.Матриця і її властивості.

2.2. Дії над матрицями.

3.Постановка задачі.

4.Додатки.

4.1.Додатток 1(текст програм).

4.2.Додаток 2(блок-схеми до програм).

5.Висновки.

6.Використана література.

1.Вступ.

У всі часи людина прагнула розширити свої можливості, за допомогою різних знарядь праці, пізнання світу та засобів існування.

Так, наприклад нестачу зору компексує : мікроскоп, телескоп, радіолокатор. Обмежені можливості передачі інформації поширюються телефоном, радіо, телебаченням.

Обчислювані машини «доповнюють» можливості мозку людини, розширюють його можливості по обробці інформації, дозволяють прискорити прийняття рішення в процесі якої-небудь роботи.

В кінці 40-х років 20 ст. Праця в області ядерної фізики, баллистики керуючих знарядь, термодинаміки і т.д. вимагали такої обчислюваної роботи, яку вже було не можливо виконати за допомогою арифмометрів-головного обчислюваного інструмента того часу. Наука і техніка були поставлені перед делемою : або всім взятись за арифмометри або винайти новий ефективний інструмент обчислення. Аналогічні проблеми уже не раз виникали, і будуть неодноразово виникати перед вченими і інженерами: екстенсивний шлях розвитку дальше неможливий, потрібний новий, інтенсивний шлях. Проблема була вирішена створенням універсальної обчислюваної машини. Термін «універсальна»використовується не випадково. Спеціалізовані машини (наприклад, для обробки банківських рахунків і т. д.) існували і раніше, але не було машини, команди якої записані в память, можна б було швидко замінити новими.

Крім математичних обчислень ЕОМ може виконувати і логічні, тобто робити вибір між варіантами (вітками) продовження дій в залежності від виконання деяких умов. Таким чином ЕОМ-це дещо більше ніж «швидкий арифмометр».

Коротка характеристика різних поколінь ЕОМ

Перше покоління ЕОМ:

Технічна основа елементної бази машин 1-го покоління-електронні лампи. Максимальна швидкодія -10 у степені 2. Математичні операції в секунду(оп/с), обєм оперативної памяті -10 у 2 степені слів. Режим використання-монопольний, тобто в розпорядженні користувача були всі ресурси машини і її управління.

Друге покоління ЕОМ:

Технічна основа - транзистори. максимальна швидкодія-10 у 4 степені оп/с, обєм оперативної памяті-10 у 4 степені слів.Режим виконання-пакетна обробка.

Третє покоління ЕОМ:

Технічна основа-занадто великі інтегральні схеми, які на малих півпровідникових кристалах реалізують великі схеми машин 2-го покоління. Максимальна швидкодія-10 у 6 степені оп/с, оперативна память -10 у 6 степені слів, внутрішня память-10 у 9 степені слів. Метод виконання - режим розподілу часу разом з пакетною обробкою.

4-те покоління ЕОМ:

Технічна основа-занадто великі інтегральні схеми. Традиційна архітектура ЕОМ Фон Неймана домінувала на протязі трьох поколінь.

Максимальна швидкодія-10 у 9 степені оп/с, оперативна память-10 у 7 степені слів ,внутрішня память обмежена в основному економічними міркуваннями.

5-те покоління ЕОМ.

Проекти ЕОМ п’ятого покоління знаходяться в стадії реалізації. Максимальна швидкодія математичних обчислень доповнюється тут високими скоростями логічного виводу. Форма спілкування з ЕОМ

на звичайній мові і дисципліна програм, як наука для користувача перестають в майбутньому бути актуальними.

Історія і зміст предмета.

Обчислюваною математикою називають розділ математики, в якому вивчають різні проблеми одержання числових результатів обчислень математичних задач.

Якщо звернутися до історії математики то можна помітити, що обчислювана математика перетворилась на самостійну вітку порівняно недавно, десь в середині нашого століття. Цей факт в любому напрямку науки повязані з появленням власних і внутрішніх задач.

Обчислювальна математика, як частина математики має таку ж древню і багату історію, як і сама математика. Евклідова математика і механіка Ньютона, теорія електромагнітного поля і квантова теорія побудованіна математичній основі і дають потужні інструменти обчислень.

Зпоявленням ЕОМ розпочався золотий вік обчислювальної математики.вона швидко розвивається. Звернувшись до періоду розвитку обчислювальної математики після полявлення ЕОМ, можна побачити, що найбільш яскраві досягнення в розвязку задач були отримані саме тими вченими і інженерами, хто працював на ЕОМ, всі отрамані засоби математики:»чистої», прикладної, обчислювальної.

З точки зору техніки обчислювальної математика дає в її розпорядження методи , які умовно можна розбити на слідуючі 4 групи: якісні, аналітичні , численні.

2.1. Матриця і її властивості.

Прямокутна таблиця з m´n чисел ,що має m рядків і n стовпців

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

A= ... ... ... ...

a_m1 a_m2 ... a_mn

називається матрицею. Коротко матрицю позначають так:

А= a_{i j} (і=1,2,...,m; j=1,2,...,n),

де a_{i j} - елементи матриці.

Матрицю з єдиним стовпцем прийнято називати вектор-стовпцем, а матрицю з єдиним рядком ¾ вектор-рядком.

Рівні матриці повинні мати рівні кількості рядків і стовпців, а також рівні відповідні елементи.

Якщо в матриці число рядків рівне числу стовпців ,то матриця називається квадратною :

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

A= ... ... ... ...

a_n1 a_n2 ... a_nn

Матриця А* називається транспонованою до матриці А , якщо стовпці матриці А являються рядками матриці А*.

Наприклад: a₁₁ a₁₂

A= a₂₁ a₂₂

a₃₁ a₃₂

Транспонованою матрицею А* буде:

a₁₁ a₂₁ a₃₁

A*=

a₁₂ a₂₂ a₃₂

Приклад. Нехай А=(a_ij), де і=1,..,m, о=1,..,n. Це значить, що А- матриця порядку m´n. Позначимо А* матрицю В = (b_ij), для якої b_ij = a_ji, тоді А*матриця порядку n´m.

Квадратна матриця А називається симетричною відносно головної діагоналі ,якщо a_{i j}=a_{j i} .

Квадратна матриця, в якій всі елементи, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною. Якщо елементи діагональної матриці, що розміщені на головній діагоналі, дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною і позначають її буквою Е:

1 0 ... 0

Е= 0 1 ... 0

. . . . . . . . . . .

0 0 ... 1

2.2. Дії над матрицями:

Як виявляється, над матрицями можливі арифметичні дії, властивості яких близькі до властивостей арифметичних дій над числами.

Сумою двох матриць a_{i j} і b_{i j} з одинаковою кількістю рядків і стовпців називається матриця с_{i j} ,у якої елементом с_{i j} є сума a_ij+b_ij відповідних елементів матриць a_{i j} b_{i j} ,тобто

a_{i j} + b_{i j} = c_{i j} ,

якщо a_{i j}+b_{i j}=c_{i j} (i=1,2,..,m; j=1,2,..,n)

Приклад: a₁₁ a₁₂ b₁₁ b₁₂ a₁₁+b₁₁ a₁₂+b₁₂

a₂₁ a₂₂ b₂₁ b₂₂ a₂₁+b₂₁ a₂₂+b₂₂

Аналогічно знаходимо різницю двох матриць.

Матрицці різних порядків додавати(віднімати) не можна.

Множення матриці на число. Щоб помножити матрицю на число l або число на матрицю, потрібно кожний елемент матриці помножити на це число.

l * a_{i j} = l a_{i j}

a₁₁ a₁₂ l a₁₁ l a₁₂

l a₂₁ a₂₂⁼ l a₂₁ l a₂₂ .

Безпосередніми наслідками вказаних визначень є співвідношення:

1) 1 • А = А • 1 = А ;

2) 0 • А = А • 0 = 0 ;

3) a • О = О • a = О ;

4) a (b А) = (a b) А = (А a) b = А (a b);

5) А + (В +С) = (А+ В) + С;

6) А + В = В + А;

7) (a + b) А = a А + b А;

8) a (А + В) = a А + a В;

9) А + О = О + А = А;

10) А + (-1)А = О;

Тут А, В, С - матриці одного порядку, a, b - числа, О - нульова матриця (всі її елементи дорівнюють нулеві). Перевірка вказаних властивостей не викликає ускладнень.

Елемент c_{i j} матриці С, яка є добутком матриці В на матрицю А, дорівнює сумі добутків елементів і-того рядка матриці В на відповідний елемент j-того стовпця матриці А, тобто

_k

c_{i j} =åb_{i l}a_{l j} (i=1,2,..,m; j=1,2,..,n).

^l=1

Властивості добутку матриць:

1) (А В) С = А (В С);

2) А (В + С) = А В + А С;

3) (А + В) С = А С + В С;

4) А Е = Е А = А;

5) (А В)*= В*А*;

Тут А, В, С - довільні матриці, для яких вказані рівності мають сенс.

Доведемо першу рівність - асоціативність множення матриць.

Позначимо D = A B, F = B C, G = D C, H = A F. Потрібно довести, що G =H. Оскільки множення вказаних вище матриць можливе, то А буде порядку m´n, В - порядку n´k, С - порядку k´l. З означення множення дістанемо, що D - порядку m´k, F - порядку n´l, G i H - матриці одного порядку m´l.

Зафіксуємо довільні i, j і доведемо, що g_ij = h_ij.Маємо

_{k k k}

g_ij = å d_ia c_aj = å å a_ib b_ba c_aj ;

^{a=1 a=1 b=1}

_{n n k}

h_ij = å a_ibf_bj =å a_ib å b_ba c_aj .

^{b=1 b=1 a=1}

Позначивши t_ab = a_ib b_ba c_aj, отримаємо

_{k n n k}

g_ij = å å t_ab , h_ij = å å t_ab .