ЗНО математика 2006
| Зошит номер Міністерство освіти і науки України Український центр оцінювання якості освіти
Екзаменаційний тест складається з трьох частин, у яких представлено 38 завдань різної форми. Відповіді на завдання Частини 1 та Частини 2 Ви повинні перенести в бланк А . Розв’язання завдань Частини 3 необхідно записати у бланку Б . Правила виконання завдань вказано на початку кожної форми завдань. Інструкція щодо роботи в тестовому зошиті 1. Відповідайте тільки після того, як Ви уважно прочитали та зрозуміли завдання й правила його виконання. 2. Використовуйте як чернетку місця, відведені у тестовому зошиті. 3. Намагайтеся відповісти на всі тестові завдання. Інструкція щодо заповнення бланків відповідей А і Б 1. До бланків записуйте лише правильні, на Вашу думку, відповіді. 2. Відповіді вписуйте чітко, відповідно до інструкцій щодо кожної форми завдань. 3. Подвійні, неправильно записані, закреслені, підчищені та виправлені відповіді у бланку А – це ПОМИЛКА! 4. Якщо Ви записали відповідь неправильно, можете її виправити у відведеному місці на бланку А . 5. Виконавши завдання Частини 3, запишіть їх на бланку Б . 6. Ваш результат залежатиме від загальної кількості правильних відповідей, записаних до бланка А , та розв’язання завдань Частини 3. 7. Перш ніж виконувати завдання, позначте номер Вашого зошита у відповідному місці бланка А . Ознайомившись з інструкцією, перевірте якість друку зошита й кількість сторінок. Їх має бути 24. Зичимо Вам успіху! |
Частина 1
Завдання 1 – 20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1.
Обчисліть 1255
32 −5
.
 А
11 5
|
 Б
10 2 − 5
|
В 9 |
 Г
9 5
|
 Д
10
4000 −
|
5 |
2.
Якщо 1
= 1
−1
, то c
= a b c
| ab А  a
−b
|
ab Б b
−a
|
В a −b |
1 1  Г
− a b
|
a −b Д
ab |
|||||||
| 3. Знайдіть вираз, тотожно рівний даному виразу |
x 4 + x |
3 − x −1. |
|||||||||
| А |
Б |
В |
Г |
Д |
|||||||
| (x +1)2 (x 2 + x +1) |
(x 2 − x +1)(x −1)2 |
(x −1)3 (x +1) |
(x −1)(x +1)3 |
(x 2 −1)(x 2 + x +1) |
|||||||
| 4. Розв’яжіть нерівність a 2 > a . |
|||||||||||
| А (1;+∞) |
Б (0; 1) |
В (−∞; 0) |
Г (−∞; 0)Υ(1;+∞) |
Д (−∞; 1) |
|||||||
5. З-поміж наведених графіків укажіть графік функції y =−
x
+ 3 .
| А |
Б |
В |
Г |
Д |
||||||||
 y
3
|
|
x |
–3 |
|
3 x |
|
3 x |
 –3
|
 y
x –3 |
–3 
|
y |
3 
|
6. Товар подешевшав на 20%. На скільки відсотків більше можна купити товару за ту ж саму суму грошей?
| 1 А  %
5 |
1 Б %
4 |
В 10% |
Г 20% |
Д 25% |
7. Обчисліть значення виразу log5 49 + 2log5
5
.
7
| А 0 |
Б 1 |
В 2 |
Г 4 |
Д 25 |
8. Розв’яжіть рівняння sin (3x ) =
1
.
2
| А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
 Z
|
 Z
|
(−1)k |
 Z
|
 Z
|
 Z
|
9. Знайдіть множину значень функції f (x ) = (sin x + cos x )2 .
| А [1; 2] |
Б [0; 2] |
В [− 
|
 2 ]
|
Г [0; 1] |
Д інша відповідь |
10. Задано рівняння:
log2
x
− log2
(x
− 2)=1, (1) cos x
=1− 3, (2) x
+ 2 =−3, (3)
sin(x +
) = −π. (4)
Укажіть рівняння, яке НЕ МАЄ коренів на множині дійсних чисел.
| А (1) і (4) |
Б (2) і (3) |
В (1) і (2) |
Г (3) і (4) |
Д інша відповідь |
11.
На рисунку зображено графік функції y
= f
( )x
і дотичну до нього в точці з абсцисою x
0
.
Знайдіть значення f ′(x 0 ).
| А −2 |
Б −1 |
В 0 |
Г 1 |
Д 2 |
12. Обчисліть значення виразу sinα+sinβ, якщо α−β=180ο .
| А 1 |
1 Б 2
|
В 0 |
1 Г –
2 |
Д інша відповідь |
13. Розв’яжіть нерівність log1 3⋅log4 x > 0.
4
| А (1;+∞) |
Б (0; 4) |
В (0; 1) |
Г (4;+∞) |
Д (−∞; 1) |
14. Укажіть непарну функцію.
| А y = x 2 −4 |
Б y = −x 2 |
В y =x 3 −1 |
Г y = |
 x
−2
|
Д y = x 3 −x |
15.
Знайдіть область визначення функції y
= x
x
+
2
.
2 −1
| А [− 2; 0) (Υ 0; +∞) |
Б [− 2; +∞) |
В (− 2; 0)Υ(0;+∞) |
Г (−∞; − 2] |
Д x ≠1 |
16. Власник банкоматної картки забув останні дві цифри свого PIN-коду, але пам’ятає, що вони різні. Знайдіть імовірність того, що з першої спроби він отримає доступ до системи.
| 1 А
2 |
1 Б 
25 |
1 В 
50 |
1 Г 90
|
1 Д 
100 |
17.
Прямі m
і n
паралельні. Обчисліть величину кута х
, зображеного на рисунку.
| А 40º |
Б 45º |
В 50º |
Г 80º |
Д 140º |
A 18.
У прямокутнику ABCD
прямі m
і n
проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см2
. Обчисліть площу прямокутника ABCD
.
D
| А 24 см2 |
Б 30 см2 |
В 36 см2 |
Г 42 см2 |
Д 48 см2 |
19. Ортогональною проекцією відрізка з кінцями у точках А (−1; 0; 5) і В (−1; 0; 8) на координатну площину xy є:
| А |
Б |
В |
Г |
Д |
| пряма |
промінь |
відрізок |
точка |
фігура, що відрізняється від перелічених |
20. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням куба навколо свого ребра, довжина якого а .
| А 4а 3 |
Б πа 3 |
В 2πа 3 |
Г 4πа 3 |
 Д
(2 + 2 2 ) πа
2
|
Частина 2
Розв’яжіть завдання 21 – 36. Запишіть відповідь у зошит і перенесіть її до бланка А.
x 2 + 2x − 3
21.
Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності < 0 . x
+ 2
Відповідь: _ -1 _________________
22. Обчисліть суму перших 20 членів арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 2, а сьомий – 20.
Відповідь: _610 _________________
23. Обчисліть значення виразу 53 + 2 − 9 .
8− 11 13 + 11 13 + 2
Відповідь: _10 _________________
24. (Задача Л.Пізанського, XII-XIII ст.)
Дві вежі, одна з яких 40 футів, а друга – 30 футів заввишки, розташовано на відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що знаходиться між ними, одночасно з обох веж злетіло по пташці. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли до криниці одночасно. Знайдіть відстань від криниці до найближчої вежі (у футах) .
Відповідь: _18 ___________ футів .
25. Обчисліть значення виразу sin 2α, якщо ctgα= −
.
Відповідь запишіть ДЕСЯТКОВИМ ДРОБОМ.
Відповідь: _-0,8 _________________
26.
Розв’яжіть рівняння x
2
−x
− 6 = − 2x
.
Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповідь їх добуток.
Відповідь: _-3 _________________
⎧⎪2x ⋅3y = 24,
27. Розв’яжіть систему рівнянь ⎨ y x Запишіть у відповідь СУМУ x 0 + y 0 , ⎪⎩ 2 ⋅ 3 = 54.
якщо пара (x 0 ; y 0 ) є розв’язком системи рівнянь.
Відповідь: _4 _________________
28.
Обчисліть 
1 ⋅9log
3
14 + 0,5 .
25
Відповідь запишіть ДЕСЯТКОВИМ ДРОБОМ.
Відповідь: _1,68 _________________
29. Відрізок 12 см завдовжки поділили на дві частини так, що сума площ квадратів, побудованих на цих частинах, стала найменшою. Обчисліть суму площ квадратів.
Відповідь: _72 _________________
30.
 |
Річка тече лугом і двічі перетинає шосе, утворюючи криву y = 3x − x 2 . Яка площа лугу між шосе та річкою, якщо вважати, що лінія шосе збігається з віссю OX (див. рис.)?
Одиниця довжини – 1 км.
Відповідь: _4,5 ______________ км 2
річка
⎧⎪x 2 + y 2 = a 2 ,
31.
Знайдіть НАЙМЕНШЕ значення параметра а
, при якому система ⎨ 2 2 ⎪⎩(x
− 7) + y
=1
має єдиний розв’язок.
Відповідь: _-8 _________________
32. На рисунку зображено графік функції f (x ) = x 4 − x 2 + bx + c .
Визначте знаки параметрів b і c .
У відповіді вкажіть номер правильного варіанта з наведених нижче.
⎧b > 0, ⎧b > 0, ⎧b < 0, ⎧b < 0,
1. ⎨ 2. ⎨ 3. ⎨ 4. ⎨
⎩c > 0. ⎩c < 0. ⎩c > 0. ⎩c < 0.
Відповідь: _3 _________________
⎧ ⎛π ⎞ 8
33. Розв’яжіть систему рівнянь ⎪⎪ ⎨cos⎜⎝ 2 (2x + 5)⎠ ⎟=1+(y −1) ,
⎪ 4sinπ
y
= 4x
2
+ 4x
+ 5.
⎪⎩ 2
Запишіть у відповідь ДОБУТОК x 0 y 0 , якщо пара (x 0 ; y 0 ) є розв’язком системи рівнянь.
Відповідь: _-0,5 _________________
34.
Обчисліть скалярний добуток векторів, зображених на рисунку.
Відповідь: _18 _________________
35. Укажіть номер фужера, у який можна налити НАЙБІЛЬШЕ рідини.
| 1 |
2 |
3 |
|
|
|
Відповідь: _3 _________________
36. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною основи кут 60º. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см2 ).
Відповідь: _24 ____________ см2
Частина 3
Розв’язання завдань 37 – 38 повинно мати обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та пояснення, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдань схемами, графіками, таблицями.
УВАГА! Розв’язання завдань 37 – 38 запишіть у бланку Б.
37. Основою прямого паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро AA 1 дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину А перпендикулярно до прямої BA 1 (у см 2 ).
ЧЕРНЕТКА
ЧЕРНЕТКА
38. Розв’яжіть рівняння 2 (tg2 x + ctg2 x + 2)+ a 2 = 3a (tgx + ctgx ), якщо x
π
n
, де n
∈Z
.
ЧЕРНЕТКА
ЧЕРНЕТКА
ЧЕРНЕТКА
УВАГА! Розв’язання завдань 37 – 38 запишіть у бланку Б.
Кінець тестового зошита