Частина 1

Завдання 1 – 20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1.

Обчисліть 125⁵ 32 −5.

2.

Якщо ¹ = ¹ −¹ , то c = a b c

5. З-поміж наведених графіків укажіть графік функції y =−

x + 3 .

6. Товар подешевшав на 20%. На скільки відсотків більше можна купити товару за ту ж саму суму грошей?

7. Обчисліть значення виразу log₅ 49 + 2log₅

⁵ .

7

8. Розв’яжіть рівняння sin (3x ) =

¹ .

2

9. Знайдіть множину значень функції f (x ) = (sin x + cos x )² .

10. Задано рівняння:

log₂ x − log₂ (x − 2)=1, (1) cos x =1− 3, (2) x + 2 =−3, (3)

sin(x +

) = −π. (4)

Укажіть рівняння, яке НЕ МАЄ коренів на множині дійсних чисел.

11.

На рисунку зображено графік функції y = f ( )x і дотичну до нього в точці з абсцисою x ₀ .

Знайдіть значення f ′(x ₀ ).

12. Обчисліть значення виразу sinα+sinβ, якщо α−β=180^ο .

13. Розв’яжіть нерівність log₁ 3⋅log₄ x > 0.

4

14. Укажіть непарну функцію.

15.

Знайдіть область визначення функції y = ^x _x ^{+ 2} .

2 −1

16. Власник банкоматної картки забув останні дві цифри свого PIN-коду, але пам’ятає, що вони різні. Знайдіть імовірність того, що з першої спроби він отримає доступ до системи.

17.

Прямі m і n паралельні. Обчисліть величину кута х , зображеного на рисунку.

A 18. У прямокутнику ABCD прямі m і n проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см² . Обчисліть площу прямокутника ABCD .

D

19. Ортогональною проекцією відрізка з кінцями у точках А (−1; 0; 5) і В (−1; 0; 8) на координатну площину xy є:

20. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням куба навколо свого ребра, довжина якого а .

Частина 2

Розв’яжіть завдання 21 – 36. Запишіть відповідь у зошит і перенесіть її до бланка А.

x ² + 2x − 3

21.

Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності < 0 . x + 2

Відповідь: _ -1 _________________

22. Обчисліть суму перших 20 членів арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 2, а сьомий – 20.

Відповідь: _610 _________________

23. Обчисліть значення виразу ⁵³ + ² − ⁹ .

8− 11 13 + 11 13 + 2

Відповідь: _10 _________________

24. (Задача Л.Пізанського, XII-XIII ст.)

Дві вежі, одна з яких 40 футів, а друга – 30 футів заввишки, розташовано на відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що знаходиться між ними, одночасно з обох веж злетіло по пташці. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли до криниці одночасно. Знайдіть відстань від криниці до найближчої вежі (у футах) .

Відповідь: _18 ___________ футів .

25. Обчисліть значення виразу sin 2α, якщо ctgα= −

.

Відповідь запишіть ДЕСЯТКОВИМ ДРОБОМ.

Відповідь: _-0,8 _________________

26.

Розв’яжіть рівняння x ² −x − 6 = − 2x .

Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповідь їх добуток.

Відповідь: _-3 _________________

⎧⎪2^x ⋅3^y = 24,

27. Розв’яжіть систему рівнянь ⎨ _{y x} Запишіть у відповідь СУМУ x ₀ + y ₀ , _{⎪⎩ 2 ⋅ 3 = 54.}

якщо пара (x ₀ ; y ₀ ) є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: _4 _________________

28.

Обчисліть 1 ⋅9^log ₃ 14 + 0,5 .

25

Відповідь запишіть ДЕСЯТКОВИМ ДРОБОМ.

Відповідь: _1,68 _________________

29. Відрізок 12 см завдовжки поділили на дві частини так, що сума площ квадратів, побудованих на цих частинах, стала найменшою. Обчисліть суму площ квадратів.

Відповідь: _72 _________________

30.

Річка тече лугом і двічі перетинає шосе, утворюючи криву y = 3x − x ² . Яка площа лугу між шосе та річкою, якщо вважати, що лінія шосе збігається з віссю OX (див. рис.)?

Одиниця довжини – 1 км.

Відповідь: _4,5 ______________ км ²

річка

⎧⎪x ² + y ² = a ² ,

31.

Знайдіть НАЙМЕНШЕ значення параметра а , при якому система ⎨ 2 2 ⎪⎩(x − 7) + y =1

має єдиний розв’язок.

Відповідь: _-8 _________________

32. На рисунку зображено графік функції f (x ) = x ⁴ − x ² + bx + c .

Визначте знаки параметрів b і c .

У відповіді вкажіть номер правильного варіанта з наведених нижче.

⎧b > 0, ⎧b > 0, ⎧b < 0, ⎧b < 0,

1. ⎨ 2. ⎨ 3. ⎨ 4. ⎨

⎩c > 0. ⎩c < 0. ⎩c > 0. ⎩c < 0.

Відповідь: _3 _________________

⎧ ⎛π ⎞ ₈

33. Розв’яжіть систему рівнянь ⎪_⎪ ⎨cos⎜_{⎝ 2} (2x + 5)_⎠ ⎟=1+(y −1) ,

^⎪ 4sin^π

^y = 4x ² + 4x + 5.

⎪⎩ 2

Запишіть у відповідь ДОБУТОК x ₀ y ₀ , якщо пара (x ₀ ; y ₀ ) є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: _-0,5 _________________

34.

Обчисліть скалярний добуток векторів, зображених на рисунку.

Відповідь: _18 _________________

35. Укажіть номер фужера, у який можна налити НАЙБІЛЬШЕ рідини.

Відповідь: _3 _________________

36. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною основи кут 60º. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см² ).

Відповідь: _24 ____________ см²

Частина 3

Розв’язання завдань 37 – 38 повинно мати обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та пояснення, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдань схемами, графіками, таблицями.

УВАГА! Розв’язання завдань 37 – 38 запишіть у бланку Б.

37. Основою прямого паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро AA ₁ дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину А перпендикулярно до прямої BA ₁ (у см ² ).

ЧЕРНЕТКА

ЧЕРНЕТКА

38. Розв’яжіть рівняння 2 (tg² x + ctg² x + 2)+ a ² = 3a (tgx + ctgx ), якщо x

^{π n} , де n ∈Z .

ЧЕРНЕТКА

ЧЕРНЕТКА

ЧЕРНЕТКА

УВАГА! Розв’язання завдань 37 – 38 запишіть у бланку Б.

Кінець тестового зошита