ЗНО математика 2007 (стр. 3 из 4)

Правильна відповідь : −3.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ─ логарифмічне.

28. Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Правильна відповідь : 32.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.

29. Обчисліть log₃ 4⋅log₄ 5⋅log₅ 7⋅log 81₇

Правильна відповідь : 4.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.

30. Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому система рівнянь

⎧у−х=а,

⎨ _{2 2} має два розв’язки.

⎩х +у =1

Правильна відповідь : 1.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.

31. Знайдіть найбільше значення функції у = х³ −3х² + 2 на проміжку [−1; 1].

Правильна відповідь : 2.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.

32. Знайдіть найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння log₈ (х + 2) = log₈ (2х −а) має корені.

Правильна відповідь : −3.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.

33. Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний

r r

добуток AB⋅ AC .

Правильна відповідь : 12,5.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.

34. Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м³. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?

Правильна відповідь : 405.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.

35.

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 3 см і нахилена під кутом 60°до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.

Правильна відповідь : 12 см³ .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.

Частина 3

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ

36. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC, проведеною з вершини D, та середньою лінією трикутника ASC, що паралельна основі піраміди.

Правильна відповідь : α= arctg 11.

Розв’язання (авторський варіант)

Нехай SABCD – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD, і SO її висота. Позначимо сторону основи АВ через а, тоді бічне ребро SA = 2a.

У трикутнику SDC з вершини D проведемо медіану DN, N – середина ребра SC. У трикутнику ASC проведемо середню лінію, паралельну AC. Вона перетинає ребра SA та SC у точках М та N відповідно, AM = MS та SN = NC (за означенням середньої лінії). Оскільки АС лежить у площині ABC і MN || AC, то MN || (ABC). Прямі MN та ND перетинаються в точці N, тому кут MND є шуканим кутом між медіаною DN трикутника SDC і середньою лінією MN трикутника ASC. Позначимо ∠MND =α.

a 2

Діагональ АС квадрата АВСD дорівнює a 2 , тому середня лінія MN = .

2

Висота SO піраміди перетинає MN в точці L. Оскільки трикутники ASC і SMN є

a 2

рівнобедреними, то АО = ОС і ML = LN = .

4

З прямокутного трикутника SOC SO =

1

За теоремою Фалеса SL = LO = SO = a

2

З прямокутного трикутника LOD LD =.

Трикутник DNM рівнобедрений, оскільки DM = DN як медіани рівних трикутників SAD та SCD. Медіана DL є висотою. Отже, трикутник DLN є прямокутним.

З трикутника DLN маємо:

LD

tgα= = 11.

LN

Відповідь. α= arctg 11.

Схема оцінювання

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.

2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND (DM=DN) учень одержує ще 1 бал.

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута α, він одержує ще 1 бал.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.

• Якщо учень не з’єднує точки М і Д на рисунку, а розглядає кут α як кут трикутника DLN, то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN – прямокутний. Тоді має місце така схема оцінювання :

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.

2. За обґрунтування того, що LD ⊥ MN учень одержує ще 1 бал.

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута α, він одержує ще 1 бал.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.

• Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання:

1. За правильне обґрунтування висоти SO учень одержує 1 бал.

2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал.

3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.

37. Побудуйте графік функції y =.

2

Розв’язання

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність −х≥ 0. Отже, D(y) = (−∞; 0].

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння 4− − x = 0 , звідки x =−16.

Якщо x∈(−∞;−16], то y== −x− 2.

Якщо х∈ (−16; ⁰], то y= = 2.

2

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

1. За правильно знайдене D(y) учень одержує 1 бал.

2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку x∈(−∞;−16], то він одержує 1 бал.

3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку (−16; ⁰], то він одержує ще 1 бал.

4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали.

38. Розв’яжіть нерівність (x² − 2 a ⋅ x +1)(2^x +lga) < 0 .

1

Правильна відповідь: при a∈(0;1) x∈(−∞;log₂ lg

) ; a

при а=1 х∈∅ ;

при a∈(1;+∞) x∈( a − a −1; a + a −1).

Розв’язання

Визначимо область допустимих значень параметра а: a > 0.

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

^⎡⎧⎪x² −2x a +1> 0,

⎢⎨

⎢⎪_⎩2^x +lga < 0;

⎢

⎢⎧⎪x² −2x a +1< 0,

⎢⎨

⎢⎣⎪_⎩2^x +lga > 0.

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність x² − 2 a ⋅x +1> 0 .

D ₂