ЗНО математика 2007 (стр. 4 из 4)

= ( a) −1=a−1.

4

1. Якщо a <1 , то розв’язком першої нерівності даної системи буде x∈R . Тоді

розв’язком нерівності 2^x < −lga буде x∈(−∞;log₂ lg

¹) при 0 < a <1. Тобто,

a

1

розв’язок першої системи матиме вигляд x∈(−∞;log₂ lg

) при 0<a<1. a

2.

Якщо а ≥1, то розв’язком нерівності x² − 2 a ⋅x +1> 0 буде x∈(−∞; a − a −1)∪( a + a −1;+∞), а нерівність ^2x < −lga не має розв’язків.

Отже, перша система не має розв’язків. Розв’яжемо другу систему.

Розглянемо нерівність x² − 2 a ⋅x +1< 0 .

D ²

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, = ( a) −1=a−1.

4

1. Якщо a <1, то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2.

Якщо а >1, то розв’язком нерівності x² − 2 a ⋅x +1< 0 буде x∈( a − a −1; a + a −1). Тоді розв’язком нерівності ^2x > −lga буде x∈R.

Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд x∈( a − a −1; a + a −1).

3. Якщо a =1, то одержимо нерівність x² −2x +1< 0, звідси х∈∅ .

1

Отже, загальна відповідь: при 0 < a <1 x∈(−∞;log₂ lg ) ; a

при a >1 x∈( a − a −1; a + a −1); при а=1 х∈∅ .

Схема оцінювання

1. Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а і розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал.

2. За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал.

3. За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал.

4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.

• Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів, то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

1. За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал.

2.

За правильно знайдені нулі функції у = (х² − 2 ах +1)(2^х + lgа ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали.

Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал.

3. За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а учень одержує 2 бали.

Якщо учень розглянув один з випадків a >1 або 0 < a <1, то він одержує лише 1 бал.

4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.

• Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки: 0 < a <1, а=1, a >1 , то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

1. Якщо учень дослідив випадок а=1 і одержав відповідь, то він одержує 1 бал.

2. Якщо учень дослідив випадок 0 < a <1 і одержав відповідь, то він одержує 2 бали.

3. Якщо учень дослідив випадок a >1 і одержав відповідь, то він одержує 2 бали.

4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.