Быстрое преобразование Фурье (стр. 1 из 7)
Быстрое преобразование Фурье (БПФ) - это алгоритм вычисления преобразования Фурье для дискретного случая. В отличие от простейшего алгоритма, который имеет сложность порядка O(N2), БПФ имеет сложность всего лишь O(Nlog2N). Алгоритм БПФ был впервые опубликован в 1965 году в статье Кули (Cooly) и Тьюки (Tukey).
Данное пособие содержит исходный код работающей программы для вычисления БПФ, подробное объяснение принципа ее работы и теоретическое обоснование. Все это можно найти и на других ресурсах, но трудно найти именно в таком комплекте: и программа, и объяснения, и теория, и на русском языке.
Если у вас нет времени и желания разбираться с теорией, то можете сразу скопировать текст программы на C++. Здесь находится заголовочный файл fft.h и исходник fft.cpp для быстрого преобразования Фурье для числа отсчетов, равного степени двойки. Вызывать надо функцию fft. А здесь находится заголовочный файл и исходник для произвольного (!) числа отсчетов. Он чуть медленнее, но скорость там тоже порядка Nlog2N. Вызывать надо функцию universal_fft.
Определение 1.
Дана конечная последовательность x0, x1, x2,...,xN-1 (в общем случае комплексных). Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности X0, X1, X2,...,XN-1 элементы которой вычисляются по формуле:
(1).Определение 2.
Дана конечная последовательность X0, X1, X2,...,XN-1 (в общем случае комплексных). Обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности x0, x1, x2,...,xN-1 элементы которой вычисляются по формуле:
(2).Основным свойством этих преобразований (которое доказывается в соответствующих разделах математики) является тот факт, что из последовательности {x} получается (при прямом преобразовании) последовательность {X}, а если потом применить к {X} обратное преобразование, то снова получится исходная последовательность {x}.
Определение 3.
Величина
называется поворачивающим множителем.
Рассмотрим ряд свойств поворачивающих множителей, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Верхняя цифра в поворачивающем множителе не является индексом, это - степень. Поэтому, когда она равна единице, мы не будем ее писать:
Прямое преобразование Фурье можно выразить через поворачивающие множители. В результате формула (1) примет вид:
(3).Эти коэффициенты действительно оправдывают свое название. Нарисуем на комплексной плоскости любое комплексное число, в виде вектора, исходящего из начала координат. Представим это комплексное число в показательной форме: rejφ, где r - модуль числа, а φ - аргумент. Модуль соответствует длине вектора, а аргумент - углу поворота:
Теперь возьмем какой-нибудь поворачивающий множитель 
. Его модуль равен единице, а фаза - 2π/N. Как известно, при умножении комплексных чисел, представленных в показательной форме, их модули перемножаются, а аргументы суммируются. Тогда умножение исходного числа на поворачивающий множитель не изменит длину вектора, но изменит его угол. То есть, произойдет поворот вектора на угол 2π/N (см. предыдущий рисунок).
Если теперь посмотреть на формулу (3), то станет ясен геометрический смысл преобразования Фурье: он состоит в том, чтобы представить N комплексных чисел-векторов из набора {x}, каждое в виде суммы векторов из набора {X}, повернутых на углы, кратные 2π/N.
Теорема 0.
Если комплексное число представлено в виде e j2πN, где N - целое, то это число e j2πN = 1.
Доказательство:
По формуле Эйлера, и ввиду периодичности синуса и косинуса:
e j2πN = cos(2πN) + j sin(2πN) = cos 0 + j sin 0 = 1 + j0 = 1
Теорема 1.
Величина 
периодична по k и по n с периодом N. То есть, для любых целых l и m выполняется равенство:
(4).Доказательство:
(5)Величина -h = -(nl+mk+mlN) - целая, так как все множители целые, и все слагаемые целые. Значит, мы можем применить Теорему 0:
Что и требовалось доказать по (4).
Теорема 2.
Для величины справедлива формула:
Доказательство:
Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) - это оптимизированный по скорости способ вычисления ДПФ. Основная идея заключается в двух пунктах.
- Необходимо разделить сумму (1) из N слагаемых на две суммы по N/2 слагаемых, и вычислить их по отдельности. Для вычисления каждой из подсумм, надо их тоже разделить на две и т.д.
- Необходимо повторно использовать уже вычисленные слагаемые.
Применяют либо "прореживание по времени" (когда в первую сумму попадают слагаемые с четными номерами, а во вторую - с нечетными), либо "прореживание по частоте" (когда в первую сумму попадают первые N/2 слагаемых, а во вторую - остальные). Оба варианта равноценны. В силу специфики алгоритма приходится применять только N, являющиеся степенями 2. Рассмотрим случай прореживания по времени.
Теорема 3.
Определим еще две последовательности: {x[even]} и {x[odd]} через последовательность {x} следующим образом:
x[even]n = x2n,
x[odd]n = x2n+1, (6)
n = 0, 1,..., N/2-1
Пусть к этим последовательностям применены ДПФ и получены результаты в виде двух новых последовательностей {X[even]} и {X[odd]} по N/2 элементов в каждой.
Утверждается, что элементы последовательности {X} можно выразить через элементы последовательностей {X[even]} и {X[odd]} по формуле:
(7).Доказательство:
Начинаем от формулы (2), в которую подставляем равенства из (6):
(8)Теперь обратим внимание на то, что:
(9)Подставляя (9) в (8) получаем:
(10)Сравним с формулами для X[even]k и X[odd]k при k = 0,1,…,N/2-1:
(11)Подставляя (11) в (10) получим первую часть формулы (7):
Это будет верно при k = 0,1,…,N/2-1.
Согласно теореме 1:
(12)Подставим (12) в (10), и заменим по теореме 2:
(13)Для k = N/2,…,N-1 по формуле (2):
(14)Подставляем (14) в (13):
Эта формула верна для k = N/2,…,N-1 и, соответственно, (k - N/2) = 0,1,…,N/2-1 и представляет собой вторую и последнюю часть утверждения (7), которое надо было доказать.
Формула (7) позволяет сократить число умножений вдвое (не считая умножений при вычислении X[even]k и X [odd]k), если вычислять Xk не последовательно от 0 до N - 1, а попарно: X0 и XN/2, X1 и XN/2+1,..., XN/2-1 и XN. Пары образуются по принципу: Xk и XN/2+k.
Теорема 4.
ДПФ можно вычислить также по формуле:
(15)Доказательство:
Согласно второй части формулы (7), получим:
Это доказывает второе равенство в утверждении теоремы, а первое уже доказано в теореме 3.
Также по этой теореме видно, что отпадает необходимость хранить вычисленные X[even]k и X[odd]k после использования при вычислении очередной пары и одно вычисление можно использовать для вычисления двух элементов последовательности {X}.
На этом шаге будет выполнено N/2 умножений комплексных чисел. Если мы применим ту же схему для вычисления последовательностей {X[even]} и {X[odd]}, то каждая из них потребует N/4 умножений, итого еще N/2. Продолжая далее в том же духе log2N раз, дойдем до сумм, состоящих всего из одного слагаемого, так что общее количество умножений окажется равно (N/2)log2N, что явно лучше, чем N2 умножений по формуле (2).
Рассмотрим БПФ для разных N. Для ясности добавим еще один нижний индекс, который будет указывать общее количество элементов последовательности, к которой этот элемент принадлежит. То есть X{R}k - это k-й элемент последовательности {X{R}} из R элементов. X{R}[even]k - это k-й элемент последовательности {X{R}[even]} из R элементов, вычисленный по четным элементам последовательности {X{2R}}. X{R}[odd]k - это k-й элемент последовательности {X{R}[odd]}, вычисленный по нечетным элементам последовательности {X{2R}}.