Характеристики систем автоматического управления (стр. 1 из 2)

Теория автоматического управления

Тема:

"Характеристики систем автоматического управления"

1. Статические характеристики САУ

Статические характеристики определяют статику системы, т.е. ее поведение в установившемся режиме.

Статической характеристикой называется отношение выходной величины к входной величине в установившемся режиме.

Статические характеристики позволяют: определить коэффициент усиления системы; степень ее нелинейности; величину статизма; произвести согласование рабочих точек системы.

2. Динамические характеристики САУ

Динамические характеристики определяют динамику системы, т.е. ее поведение в неустановившемся (переходном) режиме. При этом используют следующие основные динамические характеристики:

– передаточная функция;

– временные характеристики;

– частотные характеристики.

2.1 Передаточная функция системы и ее свойства

Дифференциальное уравнение линейной системы имеет вид:

(1)

где а_i и b_i – параметры системы, n-порядок системы.

Если применим теоремы Лапласа при нулевых начальных условиях, то дифференциальное уравнение в операторной форме запишется следующим образом

где

Физически нулевые начальные условия обозначают, что до приложения воздействия система находилась в покое.

Передаточная функция системы есть отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях

(2)

Основные свойства передаточной функции:

1. Передаточная функция является полной характеристикой системы.

Она полностью характеризует статические и динамические свойства системы.

2. Статический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления в установившемся режиме (при t®¥ или p®0) равен

.

3. Полином знаменателя называется характеристическим, а A(p) = 0 называется характеристическим уравнением. Корни полинома знаменателя называются полюсами, а числителя нулями.

Степень полинома числителя не превышает степени полинома знаменателя (n³m), в противном случае система является физически нереализуемой.

5. Коэффициенты полиномов a_i и b_i обусловлены реальными физическими параметрами системы.

6. Передаточная функция может быть задана в виде нулей и полюсов в графическом виде.

Рис. 1

Например, для приведенного на рис. 1 расположения нулей (0) и полюсов (х) передаточная функция имеет вид:

.

2.2 Временные характеристики САУ

Временной характеристикой системы называется закон изменения выходной величины в функции времени при изменении входного воздействия по определенному закону и при условии, что до приложения воздействия система находилась в покое. Временные характеристики определяются как реакция системы на типовые воздействия при нулевых начальных условиях.

К основным временным характеристикам относятся переходная функция и функция веса.

Типовые воздействия. В качестве типовых воздействий при исследовании систем используются:

– единичная функция;

– единичный импульс;

– линейно – растущее воздействие;

– квадратичное воздействие;

– гармоническое воздействие;

– «белый шум» (используется при исследовании стохастических систем).

Единичная функция. Единичная функция – воздействие, амплитуда которого равна 0 при t < 0 и равна 1 при t ³ 0.

Свойства единичной функции и единичной функции со сдвигом определяются соотношениями:

или (3)

а их графическое изображение имеет вид, приведенный на рис. 2а, б.

а) б)

Рис. 2

При этом изображение единичного воздействия имеет вид:

(4)

Единичный импульс. Единичный импульс (d – функция) – это идеализированный сигнал, который характеризуется бесконечно малой длительностью, бесконечно большим уровнем (амплитудой) и площадью равной единице.

Единичный импульс и импульс со сдвигом описываются соотношениями:

или (5)

а их графическое изображение имеет вид, приведенный на рис. 3а, б.

а) б)

Рис. 3

При этом изображение единичного импульса имеет вид

(6)

Основные свойства дельта – функции

1.

– площадь или интенсивность d – функции;

2.

-фильтрующее свойство;

3.

;

- связь d – функции с единичной функцией;

5.

.

Свойства дельта – функции широко используются в методах исследования САУ.

Линейно-растущее воздействие. Линейно-растущее воздействие – это воздействие с постоянной скоростью изменения сигнала. Такое воздействие чаще всего используется для определения точности систем и описывается соотношением:

. (7)

Графическое изображение линейно – растущего воздействия имеет вид, приведенный на рис. 4а.

При этом,

. (8)

а) б)

Рис. 4

Квадратичное воздействие. Квадратичное воздействие – это воздей-ствие с постоянным ускорением изменения сигнала. Такое воздействие чаще всего используется для определения точности систем и описывается соотношением:

. (9)

Графическое изображение квадратичного воздействия имеет вид, приведенный на рис. 5.

При этом,

. (10)

Переходная функция. Переходная функция h(t) – реакция системы на единичное воздействие при нулевых начальных условиях.

Пусть задана система (рис. 5) с передаточной функцией K(p)

Рис. 5

В изображениях выходная величина равна

.

Так как

, то изображение выходной величины равно

.

При этом связь между передаточной и переходной функцией имеет вид:

. (11)

Начальное значение переходной функции равно нулю, а установившееся значение определяется с помощью теоремы о конечном значении функции

. (12)

Весовая функция. Весовая функция k(t) – реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Пусть задана система (рис. 6) с передаточной функцией K(p)

Рис. 6

В изображениях выходная величина равна

, а в оригиналах определяется с помощью интеграла свертки

. (13)

Так как

, то .

При этом связь между передаточной и весовой функцией имеет вид:

, (14)

т.е. весовая функция представляет оригинал передаточной функции.

Установившееся значение весовой функции определяется с помощью теоремы о конечном значении функции