Смекни!
smekni.com

Система счисления 2 (стр. 1 из 2)

Содержание

Что такое система счисления?

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Сложение в различных системах счисления

Вычитание в различных системах счисления

Умножение в различных системах счисления

Деление в различных системах счисления

Что такое система счисления?

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижениемцифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

Двоичная система Четверичная система Восьмеричная система Десятичная система Шестнадцатиричная система
1 1 1 1 1
10 2 2 2 2
11 3 3 3 3
100 10 4 4 4
101 11 5 5 5
110 12 6 6 6
111 13 7 7 7
1000 20 10 8 8
1001 21 11 9 9
1010 22 12 10 A
1011 23 13 11 B
1100 30 14 12 C
1101 31 15 13 D
1110 32 16 14 E
1111 33 17 15 F
10000 40 20 16 10

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

· возможно применениеаппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

· двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.


Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – "p". Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:

N = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ ... (1.1)

здесь N – число, aj – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p>1). Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N = anan-1... a1a0. a-1a-2...

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. Перевести 23.12510

2 с.с.
1. Переведем целую часть: 2. Переведем дробную часть: 3. Таким образом:
2310 = 101112;0.12510 = 0.0012.Результат: 23.12510 = 10111.0012.

Системы счисления называются кратными, если выполняется соотношение: S = RN, где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).

Для перевода числа из системы счисления R в кратную ей систему счисления Sпоступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системы счисления S.


Таблица

Перевести 1101111001.11012
"8" с.с.
Перевести 11111111011.1001112
"16" с.c.

Для перевода числа из системы счисления S в кратную ей систему счисления Rдостаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00512) и младших (15,124000) разрядах.