Лабораторные работы по вычислительной математике (стр. 1 из 3)

пределить графически корни уравнения:

. Определить графически корни уравнения:

. Определить аналитически корни уравнения:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10 «Методы решения систем линейных уравнений ». Студента группы ПВ-22 Малютина Максима.

Задание. Решить систему уравнений с точностью до 0,001. а) Методом итераций

Система :

б) Методом Ньютона. С

истема :

uses crt; type fun=function(x:real):real;

funcs=array[1..4] of fun;

fun2=function(x,y:real):real;

function fun_x(y:real):real; begin fun_x:=-0.4-sin(y); end;

function fun_y(x:real):real; begin fun_y:=(cos(x+1))/2; end;

function f(x,y:real):real; begin f:=sin(x+y)-1.5*x-0.1 end;

function g(x,y:real):real; begin g:=x*x+y*y-1 end;

function dfx(x,y:real):real; begin dfx:=sin(x+y)-1.5 end;

function dfy(x,y:real):real; begin dfy:=sin(x+y) end;

function dgx(x,y:real):real; begin dgx:=2*x end;

function dgy(x,y:real):real; begin; dgy:=2*y end;

Procedure Iteration(funx,funy:fun;x,y,e,q:real); var xn,yn:real;

m:byte; begin e:=abs(e*(1-q)/q); xn:=x; yn:=y; m:=0; repeat

x:=xn;y:=yn;

xn:=funx(y);

yn:=funy(x);

inc(m) until (abs(xn)+abs(yn)-abs(x)-abs(y))<e; writeln('Решение : X = ',xn,'. Y= ',yn) end;

Procedure Nuton(dfx,dfy,dgx,dgy,f,g:fun2;x,y,eps:real); var d,d1,d2,xn,yn,dx1,dy1:real; begin xn:=x;yn:=y; repeat

x:=xn;y:=yn;

d:=dfx(x,y)*dgy(x,y)-dfy(x,y)*dgx(x,y);

d1:=-f(x,y)*dgy(x,y)+g(x,y)*dfy(x,y);

d2:=-g(x,y)*dfx(x,y)+f(x,y)*dgx(x,y);

dx1:=d1/d;dy1:=d2/d;

xn:=x+dx1;

yn:=y+dy1; until (abs(xn)+abs(yn)-abs(x)-abs(y))<eps; writeln('Решение : X = ',xn,' Y= ',yn) end;

var x,y,q,eps:real; begin clrscr; writeln('Введите заданную точность'); readln(eps); writeln('Введите начальные значения X, Y '); readln(x,y); writeln('Введите q '); readln(q); Iteration(fun_x,fun_y,x,y,eps,q); writeln('Введите начальные значения X, Y '); readln(x,y); Nuton(dfx,dfy,dgx,dgy,f,g,x,y,eps) end.

Результаты работы программы:

Введите заданную точность 0.001 Введите начальные значения X, Y -0.88 0.45 Введите q 0.9 Решение : X = -8.76048170584909E-0001. Y= 4.96164420593686E-0001 Количество шагов = 7 Введите начальные значения X, Y 0.58 0.8 Решение : X = 5.89956109385639E-0001 Y= 8.07435397634436E-0001 Количество шагов = 4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12 «Численное интегрирование ».

Студента группы ПВ-22 Малютина Максима.

Задание. Различными способами вычислить приближенно значение определенного интеграла.

Известно, что определенный интеграл функции

типа

численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y=

(Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла — метод трапеций (Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3).

Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Рис. 2. Метод трапеций.

Рис. 3. Метод средних прямоугольников.

По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей — для метода трапеций:

для метода средних прямоугольников:

Однако существуют еще несколько методов нахождения приближенного значения определенного интеграла.

Остановимся поподробнее на формуле Симпсона и т.н. формуле «трех восьмых».

Формула Симпсона:

Формула «трех восьмых»:

Число разбиений n должно быть кратно трем.

Экстраполяция по Ричардсону.

Пусть In1 и In2 – два приближеных значения интуграла, найденные по одной и той же формуле при n1 и n2 (n2>n1). Тогда более точное значение этого интеграла можно найти по формуле:

,где m – порядок остаточного члена (для формулы трапеций m=2, для формулы Симпсона m=4)

Соответственно этим формулам и составим алгоритм.

Листинг программы.

program Integral;

uses Crt, Dos;

function Fx(x:real):real;

begin

fx:=(1+0.9*x*x)/(1.3+sqrt(0.5*x*x+1))

{В этом месте запишите функцию, для вычисления интеграла.}

end;

Function Yi(x,h:real;i:LongInt):real;

begin

Yi:=fx(x+i*h)

end;

Function CountBar(x1,x2,h:real):real;

var xx1,xx2:real;

c:longint;

i:real;

begin

writeln('-->Метод средних прямоугольников.');

i:=0;

for c:=1 to round(abs(x2-x1)/h) do

begin

write('Итерация ',c,chr(13));

xx1:=Fx(x1+c*h);

xx2:=Fx(x1+c*h+h);

i:=i+abs(xx1+xx2)/2*h

end;

writeln('------------------------------------------------');

CountBar:=i

end;

Function CountTrap(x1,x2,h:real):real;

var xx1,xx2,xx3:real;

c:longint;

i:real;

begin

writeln('--> Метод трапеций.');

i:=0;

for c:=1 to round(abs(x2-x1)/h) do

begin

write('Итерация ',c,chr(13));

xx1:=Fx(x1+c*h);

xx2:=Fx(x1+c*h+h);

if xx2>xx1 then xx3:=xx1 else xx3:=xx2;

i:=i+abs(xx2-xx1)*h+abs(xx3)*h

end;

writeln('------------------------------------------------');

CountTrap:=i

end;

Function CountSimpson(x1,x2,h:real):real;

var i:real;

j,n:LongInt;

begin

n:=round(abs(x2-x1)/h);

writeln('-->Метод Симпсона.');

i:=fx(x1);

j:=2;

while j<=n-1 do

begin

i:=i+4*yi(x1,h,j)+2*yi(x1,h,j+1);

j:=j+2

end;

writeln('------------------------------------------------');

CountSimpson:=h/3*(i+4*yi(x1,h,j)+yi(x1,h,j+1));

end;

Function CountThree(x1,x2,h:real):real;

var s1,s2,s3:real;

i,n:LongInt;

begin

writeln('-->Метод "Трех восьмых".');

n:=round((abs(x2-x1))/h);

if n mod 3=0 then

begin

s1:=fx(x1)+fx(x2);

s2:=0;s3:=0;

for i:=1 to n do

begin

if i mod 3=0 then s3:=s3+yi(x1,h,i)

else s2:=s2+yi(x1,h,i)

end;

CountThree:=3*h/8*(s1+3*s2+2*s3);

writeln('------------------------------------------------')

end

else writeln('Неверное число шагов !!! (Должно быть кратно 3) ')

end;

Function Richardson(i1,i2,m,a:real):double;

var b:double;

begin

b:=a/(exp(m*ln(a))-1);

Richardson:=i2+b*(i2-i1)

end;

var i1,i2,i,x1,x2,h1,h2:real;

c:byte;

n1,n2,m:word;

begin

writeln('------------------------------------------------');

writeln('-= Программа вычисления определенного интеграла =-');

writeln('Введите исходные значения: ');

write('Начальное значение x (x нижн)=');Readln(x1);

write('Конечное значение x (x верхн)=');Readln(x2);

repeat

write('Вычисление по числу итераций(1) или по шагу(2)? ');readln(c);

until (c=1) or (c=2);

case c of

1: begin

write('Количество итераций (n1)=');Readln(n1);

write('Количество итераций (n2)=');Readln(n2);

h1:=(abs(x2-x1))/n1;

h2:=(abs(x2-x1))/n2;

writeln('Шаг вычисления (h1)=',h1);

writeln('Шаг вычисления (h2)=',h2)

end;

2: begin

write('Шаг вычисления (h1)=');Readln(h1);

write('Шаг вычисления (h2)=');Readln(h2);

writeln('Количество итераций (n1)=',round(abs(x2-x1)/h1));

writeln('Количество итераций (n2)=',round(abs(x2-x1)/h2))

end;

i1:=CountTrap(x1,x2,h1);

writeln('Интеграл=',i1);

i2:=CountTrap(x1,x2,h2);

writeln('Интеграл=',i2);

writeln('Экстраполирование Ричардсона для случая трапеций: ');

writeln('Интеграл = ',Richardson(i1,i2,2,n2/n1));

readln;

i1:=CountBar(x1,x2,h1);

writeln('Интеграл = ',i1);

i2:=CountBar(x1,x2,h2);

writeln('Интеграл = ',i2);

writeln('Экстраполирование Ричардсона для случая прямоугольников ');

writeln('Интеграл = ',Richardson(i1,i2,3,n2/n1));

writeln('------------------------------------------------');

i1:=CountSimpson(x1,x2,h1);

writeln('Интеграл = ',i1);

i2:=CountSimpson(x1,x2,h2);

writeln('Интеграл = ',i2);

writeln('Экстраполирование Ричардсона для случая Симпсона ');

writeln('Интеграл = ',Richardson(i1,i2,3,n2/n1));

i1:=CountThree(x1,x2,h1);

writeln('Интеграл = ',i1);

i2:=CountThree(x1,x2,h2);

writeln('Интеграл = ',i2);

writeln('Спасибо за использование программы ;-) ');

readln

end.

Результаты работы программы:

------------------------------------------------

-= Программа вычисления определенного интеграла =-

Введите исходные значения:

Начальное значение x (x нижн)=0.9

Конечное значение x (x верхн)=2.34

Вычисление по числу итераций(1) или по шагу(2)? 1

Количество итераций (n1)=4

Количество итераций (n2)=5

Шаг вычисления (h1)= 3.60000000000127E-0001

Шаг вычисления (h2)= 2.88000000000011E-0001

--> Метод трапеций.

------------------------------------------------

Интеграл= 3.21492525852918E-0003

--> Метод трапеций.

------------------------------------------------

Интеграл= 4.61840165326066E-0003

Экстраполирование Ричардсона для случая трапеций:

Интеграл = 7.73723808599729E-0003

------------------------------------------------

Интеграл = 2.53128978246764E-0003

Экстраполирование Ричардсона для случая прямоугольников

Интеграл = 3.65111028007424E-0003

------------------------------------------------

-->Метод Симпсона.

------------------------------------------------

Интеграл = 1.07491181758519E-0002

-->Метод Симпсона.

------------------------------------------------

Интеграл = 9.02681082661161E-0003

Экстраполирование Ричардсона для случая Симпсона

Интеграл = 6.76804708990304E-0003

------------------------------------------------

-->Метод "Трех восьмых".

Неверное число шагов !!! (Должно быть кратно 3)

Интеграл = 0.00000000000000E+0000

------------------------------------------------

-->Метод "Трех восьмых".

Неверное число шагов !!! (Должно быть кратно 3)

Интеграл = 0.00000000000000E+0000

------------------------------------------------

-->Метод Гаусса.

Интеграл = 1.40977850823276E-0002

------------------------------------------------

-->Метод Гаусса.

Интеграл = 1.40649829885291E-0002

Спасибо за использование программы ;-)

адание 1. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001.

=0.672275594. Количество шагов – 5.

адание 2. Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001.

x=-0.3219021. Количество шагов – 5.

То же самое методом хорд:

1. x=0.67235827. Количество шагов – 3.

2. x=-0.3222222. Количество шагов – 3.

адание 1. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение 3-ей степени, вычислив корни с точностью до 0,001.

X1=-0.810246. Количество шагов – 2.

X2= 1.168039. Количество шагов – 2.

X3=2.641798. Количество шагов – 2.

{определение корня методом хорд}

uses crt;

function fun(x:real):real;{заданная функция}

Begin

fun:=x+ln(x)/ln(10)-0.5;

End;

function fun2(x:real):real;{вторая производная заданной функции}

Begin

fun2:=-1/ln(10)/x/x;

End;

var a,b,e,e1,min,max,x,x1,n,f,f1:real;

m:byte;

BEGIN

clrscr;

writeln('Введите промежуток где возможен корень');

write('a=');readln(a);

write('b=');readln(b);

write('Введите точность E=');readln(e);

writeln('Введите m и M');

write('m=');readln(min);

write('M=');readln(max);

if fun(a)*fun2(a)>0 then

begin

n:=a;

x:=b;

end

else

begin

n:=b;

x:=a;

end;

f:=fun(n);

e1:=(e*min)/(max-min);

m:=0;

repeat

x1:=x;

f1:=fun(x1);

x:=x1-(f1*(n-x1))/(f-f1);

m:=m+1;

until e1>=abs(x-x1);

writeln('Корень =',x);

writeln(m);

END.

{определение корня методом Ньютона}

uses crt;

function fun(x:real):real;{заданная функция}

Begin

fun:=x*x*x+3*x+1;

End;

function fun1(x:real):real;{первая производная}

Begin

fun1:=3*(x*x+1);

End;

function fun2(x:real):real;{вторая производная}

Begin

fun2:=6*x;

End;

var a,b,e,e1,min,max,x,x1,n:real;

m:byte;

BEGIN

clrscr;

writeln('Введите промежуток где возможен корень');

write('a=');readln(a);

write('b=');readln(b);

write('Введите точность E=');readln(e);

writeln('Введите m и M');

write('m=');readln(min);

write('M=');readln(max);

if fun(a)*fun2(a)>0 then

begin

n:=b;

x:=a;

end

else

begin

n:=a;

x:=b;

end;

e1:=sqrt((2*min*e)/max);

m:=0;

repeat

x1:=x;

x:=x1-fun(x1)/fun1(x1);

m:=m+1;

until e1>=abs(x-x1);

writeln('Корень =',x);

writeln(m);

END.

{определение корня комбинированным методом}

uses crt;

function fun(x:real):real;{заданная функция}

Begin

fun:=x*x*x-3*x*x+2.5;

End;

function fun1(x:real):real;{первая производная}

Begin

fun1:=3*x*(x-2);

End;

function fun2(x:real):real;{вторая производная}

Begin

fun2:=6*x-6;

End;

procedure chord(n,x1:real;var x:real);{метод хорд}

Begin

x:=x1-(fun(x1)*(n-x1))/(fun(n)-fun(x1));

End;

procedure nuton(x1:real;var x:real);{метод Ньютона}

Begin

x:=x1-fun(x1)/fun1(x1);

End;

var x,a,b,e,xx,x1,xn,n,n1:real;

m:byte;

BEGIN

clrscr;

writeln('Введите промежуток где возможен корень');

write('a=');readln(a);

write('b=');readln(b);

write('Введите точность E=');readln(e);

if fun(a)*fun2(a)>0 then

begin

n:=a;x:=b;

n1:=b;x1:=a;

end

else

begin

n:=b;x:=a;

n1:=a;x1:=b;

end;

m:=0;

repeat

nuton(x1,xn);

chord(xn,x,xx);

x:=xx;

x1:=xn;

m:=m+1;

until abs(xx-xn)<=e;

writeln('Корень =',(xx+xn)/2);

writeln(m);

END.

Задание 1. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

X=0,213310688. Количество шагов – 3.

адание 2. Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

X=-1,1246907. Количество шагов – 4.

{определение корня методом итераций}

uses crt;

function fun(x:real):real;

begin

fun:=x*x*x-0.1*x*x+0.4*x+2;

end;

function fun1(x:real):real;

begin

fun1:=3*x*x-0.2*x+0.4;

end;

var u,x,xn,q:real;

min,max:real;

a,b,e:real;

m:byte;

begin

clrscr;

writeln('Введите промежуток где возможен корень');

write('a=');readln(a);

write('b=');readln(b);

write('Введите точность E=');readln(e);

writeln('Введите m и M');

write('m=');readln(min);

write('M=');readln(max);

u:=2/(min+max);

q:=(max-min)/(max+min);

e:=abs(e*(1-q)/q);

x:=a;

m:=0;

repeat

xn:=x;

x:=xn-u*fun(xn);

m:=m+1;

until abs(x-xn)<e;

writeln('Корень =',x);

writeln(m);

end.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 «Алгебра матриц». Студента группы ПВ-22 Малютина Максима.

Задание. Обратить матрицу методом разбиения ее на произведение двух треугольных матриц.

ариант 8.

При разбиении матрицы А на две треугольные, используются следующие формулы:

=1..n.

Получены следующие результаты: М

атрица T: Матрица R:

Матрица A-1:

program lab_3; { Лабораторная работа по вычмслительной математике N 3 Нахождение матрицы, обратной данной }

const Sizem = 10; { максимальная размерность матрицы }

type mattype = array [1..Sizem,1..Sizem] of double;

{ процедура для вывода матрицы на экран } procedure WriteMat (var m : mattype;n,n1 : byte); var k,i : byte; begin