Смекни!
smekni.com

Принцип Дирихле (стр. 4 из 4)

"Пусть из некоторой точки на плоскости проведено N различных лучей; тогда угол между некоторыми двумя из них не менее 360°/N".

Понятно, что если рассматривать только углы между соседними лучами, то всего получится N углов (См. рисунок). В сумме они составляют полный угол, равный 360°. Следовательно,

по непрерывному принципу Дирихле градусная мера одного из этих углов не менее 360°/N (иначе их сумма будет меньше 360°).

Рассмотренный принцип называется непрерывным постольку, поскольку здесь числа (или градусные меры углов) могут принимать любое значение из некоторого промежутка, в то время как принцип Дирихле в обычном смысле оперирует с дискретным набором объектов ("зайцев") - было бы абсурдным предполагать, что в клетке может оказаться, скажем, два с половиной зайца.

Пример 17. На плоскости дано n попарно непараллельных прямых. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми не меньше 180°/n.

Указание. Достаточно перенести прямые параллельно самим себе так, чтобы все они проходили через одну точку. Из этой точки будет выходить 2n лучей, и теперь можно применить принцип Дирихле.

Пример 18. На полях шахматной доски 8×8 расставлены действительные числа, каждые два из которых отличаются не менее чем на 1/9. Доказать, что есть пара соседних (имеющих общую сторону) клеток, разность чисел в которых не меньше 1/2.

Решение Пусть A - наименьшее из выписанных на доске чисел, а B - наибольшее. Покажем, что B-A і7.

Запишем числа в порядке возрастания (заметим, что никакие два числа не равны):

(здесь x1 = A, x64 = B).

Тогда

Допустим теперь, что утверждение задачи неверно, т.е. в любой паре соседних клеток числа отличаются меньше чем на 1/2. Рассмотрим две клетки, в которых записаны числа A и B. Понятно, что, переходя из клетки в клетку, можно попасть из клетки A в клетку B, сделав не более 14 переходов. Самый худший случай, когда нужно сделать ровно 14 переходов, показан на рисунке (A, B - противоположные клетки). По предположению приращение на каждом переходе меньше 1/2. Поэтому B - A < 14·(1/2) = 7. Противоречие.

Список литературы

[1] Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.И. "Принцип Дирихле", Самара "Пифагор", 1997г

[2] И. Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975.

[3] Д. X. Муштари. Подготовка к математическим олимпиадам: задачи, темы, методы. Казанский ун-т, 1990.

[4] В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Ч. 2. М.: Наука, 1991.

[5] В. Г. Болтянский. Шесть зайцев в пяти клетках. // Ж-л «КВАНТ», 1977,No2.

[6] А. А. Леман. Сборник задач московских математических олимпиад. Под ред. В.Г. Болтянского. М.: Просвещение, 1965.

[7] Ю. Ф. Фоминых. Принцип Дирихле. // Ж-л «Математика в школе», 1996, No3.