Исследование свойств прямоугольного тетраэдра (стр. 2 из 3)
cosβ = (ac) / √a²b² +b²c² +a²c² α b
____________ β 
cosγ = (ab) / √a²b² +b²c² +a²c² γ 
СО с
Доказательство.
Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД
cos α = ОД/ОА = h/a
____________
Поскольку h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²
____________
cosα = (bc)/√a²b²+b²c²+a²c² , что и требовалось доказать.
Аналогично:
____________
cosβ = ОД/ОВ = d/b = (ac)/√a²b²+b²c²+a²c²
____________
cos γ = ОД/ОС = d/c = (ab)/√a²b²+b²c²+a²c²
Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:
________
R = ( ½) · √a²+b²+c²
где a, b, c – катеты тетраэдра
К L 
Дано: 
ОАВС- прямоугольный тетраэдр А МОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты
R – радиус сферы, описывающей
тетраэдр.
Доказать: а
_______ В Д 
R = (1/2)√a²+b²+c² bО
Доказательство. с С
На базе прямоугольного тетраэдра
ОАВС достраиваем прямоугольный параллелепипед ОВДСАКЛМ. Диагонали прямоугольного параллелепипеда являются диаметрами описывающей его сферы, т.к. центр симметрии прямоугольного параллелепипеда совпадает с центром описанной сферы т.е.:
_______ _____ ________
КС = D = √a²+b²+c² (ВС = √b²+c² , ВК = а, КС = √ВС²+ВК² )
Поскольку данная сфера одновременно описывает прямоугольный
тетраэдр, имеем:
_______
R = (1/2)D = (1/2)√a²+b²+c²,
что и требовалось доказать.
VII. Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:
abc
r = ____________ ,√a²b²+b²c²+a²c² + ab + bc + ac
где a, b, c - катеты тетраэдра.
Дано: ОАВС - прямоугольный тетраэдр
ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты. О1 – центр вписанной сферы
r - радиус вписанной сферы
Доказать:
r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)
Доказательство: Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке Д. Тогда О1Д перпендикулярна гипотенузной грани и О1Д = r.
_ _
Пусть do - единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |dо| = 1
Координаты этого единичного вектора (cosα; cosβ; cosγ) являются направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.
__
Найдем проекцию вектора ОО1 с координатами (r; r; r) на вектор нормали:
___ __
ОК = |ОО1|cosδ , где δ – угол между вектором ОО1 и вектором нормали.
___ __ _ __ _
|OO1|cosδ = (OO1·do) = r·cosα + r·cosβ + r·cosγ , где (ОО1·dо) – скалярное произведение двух векторов.
Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,
тогда h = OK + KH, т.е.
h = |OO1|cosδ + r, т.к. КН = r
(поскольку КНДО1 является прямоугольником).
Имеем
h = rcosα + rcosβ + rcosγ + r
т.е.
r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)
С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:
(abc)/√ a²b²+b²c²+a²c² abc
1 + (bc + ac + ab) / √a²b²+b²c²+a²c² √a²b²+b²c²+a²c² + ab + bc + ac
Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.
А
Дано:
ОАВС -прямоугольный тетраэдр
ОА = ОВ = ОС = а – а
катеты ВДоказать, что гипотенузная а
грань является правильным
треугольником и косинусы О Ддвугранных углов между
гипотенузной гранью и катетными а
гранями равны С
___
√1/3
Доказательство.
Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:
_________ __
АС = √ ОА² +OC² = √2 а
_________ __
АВ = √ ОА² +OB² = √2 а
_________ __
ВС = √ ОВ² + ОС² = √2 а
т.е. треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось доказать.
Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом двугранного угла между гранями ОВС и АВС
Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:
_ _ _ ___
АД = (√3/2)АВ = (√3/2)√2 а = √3/2 а
ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС, опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:
ОД = а/√2
Косинус двугранного угла:
сos_ОДА = ОД/АД = 1/√3 , что и требовалось доказать.
Результаты исследования: исследования позволили установить свыше 8 важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.
Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и поэтому имеет большую теоретическую значимость.
ІV. Практическое применение свойств прямоугольного тетраэдра
Результаты исследований можно использовать при решении задач на факультативных занятиях по темам «Пирамида» и «Прямоугольный параллелепипед» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения задач по сравнению с традиционными методами.
Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b, высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н. Найти площадь полной поверхности.
А
Дано:
ОАВС- пирамида,
основанием является прямоугольный H
треугольник ОВС с катетами а и b ВОА = Н, высота.
Найти: b
S
полн. О Да
С
1) Решение по традиционной схеме:
S полн. = SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС
SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;
Найдем основание и высоту боковой грани АВС с помощью теоремы Пифагора:
______ ________
ВС = √ а² +b² ; АД = √ ОД² +Н² , где ОД – проекция высоты АД на основание ВОС.
Поскольку ОД _ ВС, из подобия треугольников ВОС и ВОД имеем:______
ОД/ b = а/ВС или ОД = (аb)/ВС = (аb)/ √ а² +b²
Следовательно, _______________ ________________________
АД = √ (аb)/( а² +b²) + Н² = √[(аb)² +(bH)² + (аH)²]/( а² +b²)
_________________
В результате получаем SАВС= (1/2) √ (аb)² +(bH)² + (аH)²
_________________
Cледовательно, S полн.= (1/2) [√ (аb)² +(bH)² + (аH)² + аН + bН + аb]
2) Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:
Sполн.= SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС
SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;
___________________ _________________