Двойной интеграл в полярных координатах

П


устьв двойном интеграле

(1)

приобычных предположенияхмы желаем перейтик полярнымкоординатамr иf,полагая

x= r cos ,y= r sin .(2)

О

бластьинтегрированияSразобьем наэлементарныеячейки Siс помощьюкоординатныхлиний r= ri(окружности)и = i(лучи) (рис.1).

В

ведемобозначения:


rj= rj+1- rj,

i= i+1- i




Т

аккак окружностьперпендикулярна(ортогональна)радиусам, товнутренниеячейки Siс точностьюдо бесконечномалых высшегопорядка

малостиотносительноих площадиможно рассматриватькак прямоугольникис измерениямиrjiи rj;поэтомуплощадь каждойтакой ячейкибудет равна:

Si= rj irj(3)

Чтокасается ячеекSijнеправильнойформы, примыкающихк границе Гобласти интегрированияS,то эти ячейкине повлияютна значениедвойного интегралаи мы их будемигнорировать.

В качестветочки MijSijдля простотывыберем вершинуячейки Sijс полярнымикоординатамиrjи i.Тогда декартовыекоординатыточки Mijравны:

xij= rjcos i,yij= rjsin i.

Иследовательно,

f(xij,yij)= f(rjcos i,rjsin i)(3')

Двойнойинтеграл (1)представляетсобой пределдвумернойинтегральнойсуммы, причемможно показать,что на значениеэтого пределане влияют добавкик слагаемым

интегральнойсуммы, являющиесябесконечномалыми высшегопорядка малости,поэтому учитываяформулы (3) и (3'),п


олучаем:

(4)

гдеd -максимальныйдиаметр ячеекSijи сумма распространенана все ячейкиуказанноговыше вида, целикомсодержащиесяв области S.С другой стороны,величины iи rjсуть числа иих можно рассматриватькак прямоугольныедекартовыекоординатынекоторыхточек плоскостиOr.Таким образом,сумма (4) являетсяинтегральнойсуммой дляфункции

f(rcos,r sin)r,

с


оответствующаяпрямоугольнойсетке с линейнымиэлементамиiи ri.Следовательно

(5)

С


равниваяформулы (4) и (5),получим окончательно

(6)

Выражение

dS= r ddr

называетсядвумернымэлементомплощади в полярныхкоординатах.Итак, чтобыв двойном интеграле(1) перейти кполярнымкоординатам,достаточнокоординатыxиyзаменитьпо формулам(2), а вместо элементаплощади dSподставитьвыражение (7).

Д


лявычислениядвойного интеграла(6) его нужнозаменить повторным.Пусть областьинтегрированияSопределяетсянеравенствами

Гдеr1(),r1()- однозначныенепрерывныефункции наотрезке [,].(рис 2).

Имеем






(8)




Где

F(r,)= rf(r cos,r sin)




Пример1.

П


ереходяк полярнымкоординатами r, вычислитьдвойной интеграл

Г

деS -первая четвертькруга радиусаR=1,с центром вточке О(0,0) (рис3).

Таккак

т



оприменяя формулу(6),

п


олучим

О

бластьS определена

Н

еравенствами

П




оэтомуна основанииформулы (8) имеем


Пример2.

В


интеграле

(9)

перейтик полярнымкоординатам.




Область интегрированияздесь естьтреугольникS, ограниченныйпрямыми y=0,y=x, x=1 (рис4).

В полярныхкоординатахуравнения

этихпрямых записываются

следующимобразом: =0,

=/4,r cos=1и,

следовательно,область S

определяетсянеравенствами

О


тсюдана основанииформул

(6) и(8),учитывая, что

и




меем

КраснодарскийКолледж ЭлектронногоПриборостроения

РЕФЕРАТ

Выполнилстудент

группы 60-5ЭВТ

Немцев Михаил

Краснодар

1

998г.