Дифференцированные уравнения (стр. 1 из 7)
1.ВВЕДЕНИЕ
2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.
Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:
=
(1)При такой записи коэффициенты k,k1,...,kn называют коэффициентамипередачи, а T1,...,Tn-постоянными времени данного звена.
Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.
Размерности коэффициентов передачи определяются как
размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)
размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?)
Постоянными времени T1,...,Tn имеют размерность времени.
Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p=
алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1): 
=
=
(2)2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА
Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):
y(t)=
==
==W1(s)+W2(s)+...+Wn(s)
Здесь W1(s),W2(s),...,Wn(s) - передаточные функции.
При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.
2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА
Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.
Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:
w(t)=
2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jw.
Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование
W(j)=
.Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
W(jw)=U(w)+jV(w)
где U(w) и V(w) - вещественная и мнимая части.
W(jw)=A(w)
,где A(w) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,j(w) - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
АЧХ строят для всео диапазона частот -Ґ<w
Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:
j(w)=argW(jw)
4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ
4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ
Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k
, где N(s), L(s) - многочлены.4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
aoy(t)=bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
y(t)=
g(t)y(t)=kg(t) (2),
где k=
-коэффициент передачи.Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s)
W(s)=k (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда
h(t)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)=
=kd(t) (6)4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=2Ч1(t)
w(t)=2Чd(t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=k
W(jw)=k (7)
W(jw)=U(w)+jV(w)
U(w)=k
V(w)=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=0 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
A(w)=2
j(w)=0
L(w)=20lg2
U(w)=2
V(w)=0
Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.
4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
aoy(t)=bog(t-t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao=2
bo=4
t=0,1с
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
y(t)=
g(t-t)y(t)=kg(t-t) (2),
где k=
-коэффициент передачи.Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:y(t)=kg(t-t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t-t)=G(s)e-ts
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s)e-ts
W(s)= ke-ts (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда
h(t)=y(t)=k g(t-t)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)=
=kd(t-t) (6)4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=2Ч1(t-t)
w(t)=2Чd(t-t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на t=0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=k e-ts
W(jw)=k e-jwt =k(costw-jsintw) (7)
W(jw)=U(w)+jV(w)
U(w)=k costw
V(w)=-ksintw
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.