148. Середины сторон выпуклого шестиугольника последовательно соединены отрезками. Докажите, что площадь полученного шестиугольника больше половины площади начального шестиугольника.
149. Выполнив возможно меньшее число разрезов, сложите из трех равных правильных шестиугольников один правильный шестиугольник.
150. Решите задачу 149 для четырех правильных шестиугольников.
151. Докажите, что сумма расстояний от всех сторон выпуклого равностороннего многоугольника (или их продолжений) у всех внутренних точек многоугольника одинакова.
152. Площадь правильного шестиугольника равна — произведения длин двух неравных диагоналей. Докажите.
153. Площадь правильного двенадцатиугольника равна квадрату его диагонали. Какой именно?
154. АВ и СВ — параллельные стороны правильного двенадцатиугольника, АС и ВО не пересекаются. Докажите, что АС и ВВ делят двенадцатиугольник на три равновеликие части.
155. На школьном вечере среди вопросов математической викторины был предложен такой: «Выразите площадь правильного восьмиугольника А\А•^А^А^А^А!,А^Ау. через его линейные элементы». Поступили следующие ответы: 1) 2Д2 У2; 2) произведение наименьшей диагонали на наибольшую; 3) А\Аз Х X А\А^, 4) кубический корень из удвоенного произведения длин стороны и всех диагоналей, исходящих из одной вершины;
5) удвоенное произведение стороны на диагональ А\А^;
6) произведение двух неравных параллельных диагоналей. Какие из этих ответов правильны?
156. Уголки квадрата срезаны так, что получился правильный восьмиугольник. На сколько процентов уменьшилась площадь фигуры?
157. Сторона правильного шестиугольника равна а. Через вершину шестиугольника проведена прямая, разделившая его на части, площади которых относятся, как 1 : 3. Найдите длину отрезка прямой, ограниченного сторонами шестиугольника.
158. Вычислите площадь многоугольника по координатам всех его вершин.
159. Четырехугольник АВСВ разделен на три части отрезками, которые не пересекаются и делят стороны -АО и ВС на три равные части (рис. 50). Докажите, что площадь средней части равна трети площади четырехугольника АВСВ.
Длина окружности
160. Одна окружность построена на катете прямоугольного треугольника, как на диаметре. Другая окружность проходит через середины всех сторон треугольника. При каком условии обе окружности равны?
161. Сторона квадрата АВСВ равна 8см. Найдите длину окружности, которая проходит через точки А v. В ти касается стороны СО квадрата.
162. В окружность радиуса Л вписан правильный двенадцатиугольник. Его малые диагонали пересекаются в точках, лежащих на некоторой окружности. Определите ее длину.
163. В окружность радиуса Д вписан равносторонний треугольник АВС. Найдите длину окружности, которая касается данной окружности и продолжений сторон АВ и АС треугольника.
164. Радиус окружности 2 см. Две окружности с радиусами по 1 см касаются одна другой и внутренним образом касаются большей окружности. Найдите длину окружности, касающейся этих трех окружностей.
165. Периметр равностороннего треугольника АВС равен Р. Найдите длину окружности, которая касается стороны АВ и медиан АВ и ВЕ.
166. Длина отрезка равна половине длины окружности. Существуют разные способы его построения:
а) Герона Александрийского:
б) А. Коханского: АВ — диаметр окружности, СВ — касательная, проходящая через точку В; А- СОВ == 30°, СВ == ЗЛ. Искомый отрезок — АВ (рис. 51);
в) X. Гюйгенса: искомый отрезок равен 8012 В;
г) Если катеты прямоугольного треугольника 8 и 9, то половина длины окружности единичного радиуса равна разности между гипотенузой и 8, 9. Проверьте точность построения отрезка этими способами.
. 167. Как относятся длины окружностей, одна из которых описана около равностороннего треугольника, а другая проходит через центры вневписанных окружностей.
Длина дуги окружности
168. Хорды АВ и СВ окружности параллельны. Докажите, что дуги АС и ВВ равны.
169. Докажите, что если две хорды окружности равны, то равны и дуги, стягиваемые этими хордами.
170. Каждая сторона треугольника 6 см. По сторонам треугольника вне его катится круг радиуса 2 см. Определите длину пути центра круга за один оборот вокруг треугольника.
171. На стороне АВ == а правильного шестиугольника АВСВЕР вне его построен квадрат. Этот квадрат перемещается вокруг шестиугольника так, что все время одна из вершин квадрата совпадает с вершиной шестиугольника. Определите длину пути центра квадрата за один оборот вокруг шестиугольника.
172. Каждая вершина квадрата со стороной а является центром окружности радиуса а. Найдите периметр криволинейного четырехугольника, ограниченного названными окружностями.
173. Вершины прямоугольника делят описанную окружность на части, длины двух из которых относятся, как 1 : 5. Найдите радианные меры углов, которые диагональ прямоугольника образует с его сторонами.
174. Радианные меры двух углов треугольника -^- и -^ .
Найдите отношение длин сторон треугольника, лежащих против названных углов.
175. Вершина А равностороннего треугольника АВС является центром окружности, проходящей через точки В и С. Биссектрисы углов В и С пересекают окружность в точках М и Р. Определите радианную меру центральных углов, соответствующих дугам РВ, ВС, СМ, МР.
Площадь круга и его частей
176. Периметр равностороннего треугольника Р. На высоте треугольника, как на диаметре, построена окружность. Определите площадь части круга, находящейся внутри треугольника.
177. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника о. На катете, как на диаметре, построена окружность. Найдите площадь той части круга, которая находится внутри
треугольника.
178. АВ — основание полукруга, точка М находится на окружности. Построены полукруги с диаметрами АМ и ВМ. Докажите, что сумма площадей луночек (то есть частей полукругов, находящихся вне большого полукруга) равна площади
треугольника АМВ.
179. АВ — диаметр полукруга, С — точка этого диаметр" СО — перпендикуляр к АВ, причем точка В находится на окружности. Построены полуокружности диаметров АС та ВС внутрь полукруга. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной тремя названными полуокружностями (она называется арбелоном) равна площади круга диаметра СВ (рис. 52).
180. На диаметре полукруга АВ отложены равные отрезки АВ и СО. На АВ и СО, как на диаметрах, построены полукруги внутри большого полукруга, на ВС — вне большого полукруга. Радиусы ОЕ и ОР проходят через середину ВС перпендикулярно ВС. Докажите, что площадь фигуры, закрашенной желтым на рисунке 53, равна площади круга диаметра ЕР.
Теорема косинусов
181. Найдите периметр треугольника, у которого длины сторон (в сантиметрах) выражаются последовательными нечетными числами, а один из углов вдвое больше суммы
остальных.
182. Вычислите величины углов вписанного в окружность
четырехугольника, у которого длины сторон 14, 30, 40, 48.
183. Докажите, что в треугольнике АВС: аЬ сое С +
+ ас соз В + Ьс соа А ^ — Р2.
^•"ж"
' •'. \
184. Медианы АО и ВД треугольника АВС взаимно перпен дикулярны, докажите, что 5 АВ2 == АС2' + ВС2.
185. Вычислите (аЪ соа С + ас соа В + Ьс сов А) : (а2 + Ь'г+
-(- с2), где а, Ь, с, /- А, /- В, /- С — элементы одного треуголь ника.
186. На диаметре АВ окружности взята точка М; хорда СО параллельна АВ. Докажите, что величина МС2 + МО2 не
1 зависит от выбора точки С.
187. На сторонах треугольника с длинами сторон 5, 6, 7 вне треугольника построены квадраты. Найдите сумму квадратов сторон шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, находящиеся вне треугольника.
188. Квадрат произведения длин диагоналей параллелограмма равен сумме четвертых степеней длин двух смежных сторон. Найдите величины углов параллелограмма.
189. Точка М находится на стороне ВС треугольника АВС. Докажите, что АМ2 • ВС = АВ2 • СМ + АС2 ' ВМ — ВС • ВМ X X СМ.
190. Окружности радиусов 1 и 2 касаются одна другой внешним образом и касаются окружности радиуса 3 внутренним образом. Найдите радиус окружности, которая касается всех трех названных окружностей.
191. Внешние углы треугольника при вершинах А, В, С соответственно а, (3, у, докажите, что аЬ (1 — сое у) -\- ас (1 —
- С08 Р) + ЬС (1 - С08 и) == 4- Р2-
л
192. Докажите, что в треугольнике АВС'. аа ' с ~ ' =
о (6 + с — в)
_ 1 — сов А ~~ 1 — соа В '
193. Докажите, что треугольник АВС — остроугольный, если:
а) его периметр 17 см, а длина наибольшей стороны 7 см; б) его периметр 99 см, а длина наименьшей стороны 29 см.
194. Центр вписанной в прямоугольный треугольник окружности удален от концов гипотенузы на 7 и 5 -л/2 см. Найдите длины сторон треугольника.
195. Докажите правильность формул для вычисления
площади треугольника: 8 =^ — -\/4 а^Ь2 — (о2 + Ь2 —• с2)2 =
= -1- -узГ^Ь2 + оУ + Ь^с2) - (а4 + Ь4 + с4).
196. Докажите, что в треугольнике АВС:
& С08 А+ Ъ С08 В + С С08 С __ Г
о + Ь + с Л
197. Докажите, что в четырехугольнике АВСВ: АВ2 == == 4В2 + ВС2 + СО2 - 2 АВ • ВС . сое В - 2 ВС • СО • сов С+ + 2АВ • СО • соз (А + О).
8 9-12« 65
198. Если сумма квадратов диагоналей выпуклого четырехугольника равна сумме квадратов двух противолежащих сторон, то продолжения двух других сторон пересекаются по, р прямым углом. Докажите.