Ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè
Îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè íà ñåáÿ
Îòîáðàæåíåì ïëîñîñòè íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðîçîâàíèå, ÷òî êàæäîé òî÷êå èñõîäíîé ïëîñêîñòè ñîïîñòàâëÿåòñÿ êàêàÿ-òî òî÷êà ýòîé æå ïëîñêîñòè, ïðè÷åì ëþáàÿ ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè îêàçûâàåòñÿ ñîïîñòàâëåíîé äðóãîé òî÷êå. Åñëè ïðè îòîáðàæåíèè ïëîñêîñòè íà ñåáÿ ôèãóðà F ïðåîáðàçîâûâàåòñÿ â ôèãóðó F', òî ãîâîðÿò, ÷òî ôèãóðà F' - îáðàç ôèãóðû F, à ôèãóðà F - ïðîîáðàç ôèãóðû F'. Åñëè îäíèì îòîáðàæåíèåì ôèãóðà F ïåðåâîäèòñÿ â ôèãóðó F', à çàòåì ôèãóðà F' ïåðåâîäèòñÿ â ôèãóðó F'', òî îòîáðàæåíèå, ïåðåâîäÿùåå F â F'' íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé äâóõ îòîáðàæåíèé. Íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà A êîòîðàÿ ýòèì îòîáðàæåíèåì ïåðåâîäèòñÿ ñàìà â ñåáÿ. Îòîáðàæåíèå, âñå òî÷êè êîòîðîãî íåïîäâèæíûå íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Åñëè ïðè äàííîì îòîáðàæåíèè ðàçíûì òî÷êàì ôèãóðû ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå îáðàçû, òî òàêîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Ïóñòü ôèãóðà F' ïîëó÷åíà èç ôèãóðû F âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì f, òî ìîæíî çàäàòü îòîáðàæåíèå îáðàòíîå îòîáðàæåíèþ f, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ òàê: êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèÿ f è îòîáðàæåíèÿ, îáðàòíîãî f ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî âèäîâ îòîáðàæåíèÿ ïëîñêîñòè íà ñåáÿ, ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ:
1. Äâèæåíèÿ
· Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ
· Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ
· Ïîâîðîò âîêðóã òî÷êè
· Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ
2. Ïîäîáèå
· Ãîìîòåòèÿ
Äâèæåíèå
Äâèæåíèåì íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè íà ñåáÿ ïðè êîòîððîì ñîõðàíàÿþòñÿ âñå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè. Äâèæåíèå èìååò ðÿä âàæíûõ ñâîéñòâ:
1. Òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ïðè äâèæåíèè ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, è òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.
Äîêîçàòåëüñòâî: ïóñòü äâèæåíèå ïåðåâîäèò òî÷êè A, B, C â òî÷êè A', B', C'. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1)
Åñëè òî÷êè A, B, C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî îäíà èç íèõ, íàïðèìåð òî÷êà B ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè.  ýòîì ñëó÷àå AB+BC=AC, è èç ðàâåíñòâ (1) ñëåäóåò, ÷òî A'C'+B'C'=A'C'. À èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà B' ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè A' è C'. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Âòîðîå óòâåðæäåíèå äîêàæåì ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî: Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷êè A', B', C' ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé äàæå â òîì ñëó÷àå, åñëè òî÷êè A, B, C íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî åñòü ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà. Òîãäà äîëæíû âûïîëíÿòñÿ íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà:
AB<AC+BC
AC<AB+BC
BC<AB+AC
íî èç ðàâåíñòâ (1) ñëåäóåò, ÷òî òå æå íåðàâåíñòâà äîëæíû âûïîëíÿòñÿ è äëÿ òî÷åê A', B', C' ñëåäîâòåëüíî òî÷êè A', B', C' äîëæíû áûòü âåðøèíàìè òðåóãîëüêà, ñëåäîâòåëüíî òî÷êè A', B', C' íå äîëæíû ëåæàòü íà îäíîé ïðÿìîé.
2. Îòðåçîê äâèæåíèå ïåðåâîäèòñÿ â îòðåçîê.
3. Ïðè äâèæåíèè ëó÷ ïåðåõîäèò â ëó÷, ïðÿìàÿ â ïððÿìóþ.
4. Òðåóãîëüíèê äâèæåíèåì ïåðåâîäèòñÿ â òðåóãîëüíèê.
5. Äâèæåíèå ñîõðàíÿåò âåëè÷èíû óãëîâ.
6. Ïðè äâèæåíèè ñîõðàíÿþòñÿ ïëîùàäè ìíîãîóãîëüíûõ ôèãóð.
7. Äâèæåíèå îáðàòèìî. Îòîáðàæåíèå, îáðàòíîå äâèæåíèþ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
8. Êîìïîçèöèÿ äâóõ äâèæåíèé òàêæå ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå äâèæåíèÿ ìîæíî äàòü òàêîå îïðåäåëåíèå ðàâíåñòâà ôèãóð: