Структура сходящихся последовательностей (стр. 1 из 3)

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x_n-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {x_n}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|x_n-a|<e.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {x_n}. Тогда, используя специальное представление для элементов x_n сходящейся последовательности {x_n}, получим x_n=а+a_n, x_n=b+b_n, где a_n и b_n – элементы бесконечно малых последовательностей {a_n} и {b_n}.

Вычитая данные соотношения, найдем a_n-b_n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {a_n-b_n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {a_n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {x_n} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

x_n=а+a_n,

где a_n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {a_n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |a_n|£А. Поэтому | x_n | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {x_n}. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {x_n-a} и {x_n+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(x_n-a) – (x_n+1-a)}={x_n– x_n+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |x_n– x_n+1| = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}. Тогда:

x_n=а+a_n, y_n=b+b_n,

где {a_n} и {b_n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n + y_n) - (а + b) =a_n+b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n + y_n) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n + y_n} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}.Тогда:

x_n=а+a_n, y_n=b+b_n,

где {a_n} и {b_n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n - y_n) - (а - b) =a_n-b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n - y_n) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n - y_n} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}, то x_n=а+a_n, y_n=b+b_n и x_n×y_n=a×b+a×b_n+b×a_n+a_n×b_n. Следовательно,

x_n×y_n-а×b=a×b_n+b×a_n+a_n×b_n.

(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×b_n+b×a_n+a_n×b_n} бесконечно малая, и поэтому последовательность {x_n×y_n-а×b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {x_n×y_n} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.

ЛЕММА: Если последовательность {y_n} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность

, которая является ограниченной.

Доказательство: Пусть

. Так как b¹0, то e>0. Пусть N – номер, соответствующий этому e, начиная с которого выполняется неравенство:

|y_n-b|<e или |y_n-b|<

из этого неравенства следует, что при n³N выполняется неравенство |y_n|>

. Поэтому при n³N имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.

ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n} при условии, что предел {y_n} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x_n} и {y_n}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {y_n} отличны от ноля и последовательность

ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {x_n} и {y_n}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как x_n=а+a_n, y_n=b+b_n, то

.
Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству x_n³b (x_n£b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (a£b).

Доказательство: Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n³b. Предположим, что а<b. Поскольку а – предел последовательности {x_n}, то для положительного e=b-a можно указать номер N такой, что при n³N выполняется неравенство

|x_n-a|<b-a.

Это неравенство эквивалентно

-(b-a)<x_n-a<b-a

Используя правое из этих неравенств мы получим x_n<b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n£b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Элементы сходящейся последовательности {x_n} могут удовлетворять строгому неравенству x_n>b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если x_n=1/n, то x_n>0, однако

.

Следствие 1: Если элементы x_n и у_n у сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n£ у_n, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству

.

Элементы последовательности {y_n-x_n} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел

. Отсюда следует, что

.

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {x_n} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как а£x_n£b, то a£c£b.

ТЕОРЕМА: Пусть {x_n} и {z_n}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y_n}удовлетворяют неравенствам x_n£y_n£z_n. Тогда последовательность {y_n} сходится и имеет предел а.