Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1.

Генерацияслучайных чиселс заданнымзаконом распределенияс помощью случайныхчисел, равномернораспределенныхна интервале(0,1):

1. используяцентральнуюпредельнуютеорему, с помощьюсумм 6 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0,1) случайныхчисел получить25 случайныхчисла со стандартнымнормальнымзаконом распределения;найти выборочноесреднее и выборочнуюдисперсию;

2. получить 11случайныхчисел с закономраспределенияСтьюдента с10 степенямисвободы; найтивыборочноесреднее и выборочнуюдисперсию.

Решение:

С помощью сумм6 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0,1) случайныхчисел получим24 случайныхчисла со стандартнымнормальнымзаконом распределенияпо формуле

,где z_i -равномернораспределенныена интервале(0,1) случайныечисла.

Получены следующиечисла:

-1.235	-0.904	-1.674	1.918	-0.335
1.082	-0.584	-0.565	0.149	0.528
1.076	1.011	0.671	-1.011	-1.502
0.627	-0.489	-0.486	1.022	-0.472
-0.844	0.92	-0.583	0.645	-0.495

Найдем выборочноесреднее поформуле

Найдем выборочнуюдисперсию поформуле

Получим 11 случайныхчисел с закономраспределенияСтьюдента с10 степенямисвободы:

С

лучайныечисла, распределенныепо закону «хиквадрат» с 10степенямисвободы:

, где x_i– нормальныенезависимыеслучайныевеличины.

Случайныечисла, распределенныепо закону Стьюдентас 10 степенямисвободы:

,

где x – нормальнаяслучайнаявеличина, а ²– независимаяот x величина,которая распределенапо закону «хиквадрат» с 10степенямисвободы.

Получены следующиечисла:

-0.58

-2.496

-0.06

-0.932

1.547

0.418

1.658

1.51

-0.171

-0.821

-1.728

Найдем выборочноесреднее поформуле

Найдем выборочнуюдисперсию поформуле

Задача 2.

Проверкастатистическойгипотезы:

1. получить 100случайныхчисел {x₁,…,x₁₀₀},распределенныхпо показательномузакону с параметром = 1/6, найтитакое наименьшеецелое числоN, что N x_k для всех k =1,…,100;

2. разделитьотрезок [0, N] на10 равных отрезков;получитьгруппированнуювыборку {n₁,…,n₁₀},где n_i – числочисел, попавшихв i-ый интервал;построитьгистограммуотносительныхчастот; погруппированнойвыборке найтиоценку _Впараметра ;

3. проверить спомощью критерия«хи квадрат»гипотезу осоответствиигруппированнойвыборки показательномураспределениюс параметром_В приуровне значимости0.05.

Решение:

Получим 100 случайныхчисел {x₁,…,x₁₀₀},распределенныхпо показательномузакону с параметром = 1/6:

4,9713	3,2905	2,7849	4,1093	2,1764	9,9659	10,343	4,6924	13,966	14,161
0,4258	0,6683	8,8884	5,3392	2,7906	4,7696	3,0867	0,9414	2,8222	3,4177
10,148	3,5312	8,4915	3,0179	3,2209	4,2259	1,8006	2,8645	1,3051	3,3094
0,5557	1,9075	2,4227	6,9307	7,1085	13,322	0,9665	11,19	15,203	2,6685
3,6408	5,3646	4,5871	11,277	1,823	1,142	0,8126	7,2223	12,371	1,4527
2,9692	15,762	2,5493	13,533	8,8944	0,5005	2,4678	4,2491	4,1972	4,0488
2,2424	3,0025	30,785	13,778	0,8824	1,7475	5,8036	3,5565	0,2718	10,404
12,166	0,297	21,487	17,302	12,166	0,875	1,9573	25,326	2,0727	9,1516
10,669	6,4555	6,005	1,3209	3,8486	1,3525	11,593	5,4617	11,946	16,293
3,3376	3,6084	7,0011	1,279	7,5471	0,6641	1,776	6,1109	8,857	8,8327

Находим такоенаименьшеецелое числоN, что N x_k для всех k =1,…,100:

N = 31

Разделяемотрезок [0, 31]на 10 равных отрезкови получимгруппированнуювыборку {n₁,…,n₁₀},где n_i – числочисел, попавшихв i-ый интервал:

xi	Xi+1	ni	ni/n
0	3,1	39	0,39
3,1	6,2	25	0,25
6,2	9,3	12	0,12
9,3	12,4	12	0,12
12,4	15,5	6	0,06
15,5	18,6	3	0,03
18,6	21,7	1	0,01
21,7	24,8	0	0
24,8	27,9	1	0,01
27,9	31	1	0,01

Гистограммаотносительныхчастот:

Находим выборочноесреднее поформуле

По группированнойвыборке находимоценку _Впараметра по формуле

Проверяем спомощью критерия«хи квадрат»гипотезу осоответствиигруппированнойвыборки показательномураспределениюс параметром_В приуровне значимости0.05:

Находим вероятностипопадания X вчастичныеинтервалы (x_i,x_i+1) по формуле

Вычисляемтеоретическиечастоты поформуле

xi	Xi+1	ni	Pi	fi	(ni- fi)2/ fi
0	3,1	39	0,3955	39,55	0,0076
3,1	6,2	25	0,2391	23,91	0,0499
6,2	9,3	12	0,1445	14,45	0,4162
9,3	12,4	12	0,0874	8,74	1,2188
12,4	15,5	6	0,0528	5,28	0,0977
15,5	18,6	3	0,0319	3,19	0,0116
18,6	21,7	1	0,0193	1,93	0,4482
21,7	24,8	0	0,0117	1,17	1,1668
24,8	27,9	1	0,0071	0,71	0,1231
27,9	31	1	0,0043	0,43	0,7717

Находим наблюдаемоезначение критерияпо формуле

По таблицекритическихточек распределения«хи квадрат»,по заданномууровню значимости0.05 и числустепеней свободы8 находим критическуюточку

Гипотезу осоответствиигруппированнойвыборки показательномураспределениюс параметром_Внеотвергаем.

Задача 3.

Проверка гипотезыо равенстведисперсий:

1. получить 2 случайныхчисла, распределенныхпо стандартномунормальномузакону с помощьюсумм 5 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0, 1) случайныхчисел: аналогично,получить 9 случайныхчисел, распределенныхпо стандартномунормальномузакону с помощьюсумм 9 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0, 1) случайныхчисел;

2. проверитьгипотезу оравенствегенеральныхдисперсийполученныхсовокупностейпри уровнезначимости0.1.

Решение:

Получим 2 случайныхчисла, распределенныхпо стандартномунормальномузакону с помощьюсумм 5 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0, 1) случайныхчисел по формуле

,где z_i- равномернораспределенныена интервале(0, 1) случайныечисла.

Получены следующиечисла:

-0,848

-1,662

Получим 9 случайныхчисла, распределенныхпо стандартномунормальномузакону с помощьюсумм 9 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0, 1) случайныхчисел по формуле

,где z_i- равномернораспределенныена интервале(0, 1) случайныечисла.

Получены следующиечисла:

0.885

1.25

-0.365

-1.139

0.891

-1.176

0.237

1.807

-0.96

Проверим гипотезуо равенствегенеральныхдисперсийполученныхсовокупностейпри уровнезначимости0.1:

Найдем выборочноесреднее первойсовокупностипо формуле

Найдем выборочноесреднее второйсовокупностипо формуле

Найдем исправленнуюдисперсиюпервой совокупностипо формуле

Найдем исправленнуюдисперсиювторой совокупностипо формуле

Вычислим наблюдаемоезначение критерия(отношениебольшей исправленнойдисперсии кменьшей) поформуле

По таблицекритическихточек распределенияФишера-Снедекора,по заданномууровню значимости0.1 и числам степенейсвободы 1 и 9 найдемкритическуюточку

Гипотезу оравенствегенеральныхдисперсийполученныхсовокупностейпри уровнезначимости0.1 не отвергается.

Задача 4.

Уравнение линиирегрессии:

1. получить 50случайныхнезависимыхзначений {x₁,…,x₅₀}случайнойвеличины X,равномернораспределеннойна интервале(0, 9); получить 50случайныхнезависимыхзначений {y₁,…,y₅₀}случайнойвеличины Y следующимобразом: y_i –случайноечисло, распределенноепо показательномузакону с параметром

   

2. найти уравнениепрямой линиирегрессии Y наX по этим данным;

3. проверить спомощью критерия«хи квадрат»гипотезу онормальномраспределениис нулевымматематическиможиданиемотклоненийимеющихсяданных от прямойрегрессии приуровне значимости0.05; при этом рассмотретьгруппированнуювыборку, разделивотрезок [-_max,_max] на5 равных частей,где _max– наибольшеепо абсолютнойвеличине отклонениеy_i от линиирегрессии.

Решение:

Получим 50 случайныхнезависимыхзначений {x₁,…,x₅₀}случайнойвеличины X,равномернораспределеннойна интервале(0, 9):

8.83174196071923	6.99053263384849	8.93890746776015	0.385410904884338	5.75393992289901	4.51090870331973	0.00656201597303152	7.97929550148547	6.6076143393293	4.54793028719723
1.40597840119153	2.18026433419436	5.0019520400092	5.61958408355713	0.148369995877147	4.25108801946044	4.77254802547395	1.53819094598293	6.14594876859337	0.812219920568168
6.2368449093774	1.69562757108361	0.777272606268525	2.94200689997524	7.07131071947515	2.973582518287	8.08092284202576	2.89726528152823	8.8169469544664	3.27939590346068
0.570096284151077	8.46246168483049	2.00763375777751	2.70446146745235	8.67470343410969	1.92118153441697	1.92350933980197	1.31150823365897	1.80795181263238	3.65427995938808
8.97048242390156	2.54362053237855	0.0568648930639029	6.36279229167849	1.68422971665859	4.25911642424762	2.50030734948814	4.91532963048667	7.35895295999944	4.39228433836252

Получим 50 случайныхнезависимыхзначений {y₁,…,y₅₀}случайнойвеличины Y следующимобразом: yi –случайноечисло, распределенноепо показательномузакону с параметром

:

24.9323592452182	15.7441606069719	15.5028112434691	2.87790855039727	4.16156795216443	0.190460347139702	0.252207251176988	5.55884492608762	11.5417165759534	11.8189116910915
9.57191092954621	6.48268208064067	10.6729845988228	11.9201379351172	0.0563900402236241	6.07239051882238	10.8341890845962	2.77373256888689	1.4735808529829	0.683544240471081
1.536352690789	0.100495382422226	6.48630115206778	1.01940005703768	6.79791391486788	2.34472037157293	2.06912254815368	3.42524848981833	9.45107565557296	3.18848770214796
1.69800713475763	2.42887690987151	6.18175839336735	4.85432860734921	3.12088295311468	0.14473630724364	0.312712437424258	1.16492882917332	2.95306149294792	6.38190212865322
0.293019110223049	0.664514453422601	3.47608211592645	20.3599120342622	1.45318365215952	9.23209976014301	0.965294785502523	6.29747102157127	6.46689933291391	3.14474865192493

Найдем уравнениепрямой линиирегрессии Y наX по этим даннымпо формулам

Уравнениепрямой линиирегрессии Y наX:

Получены следующиезначения отклоненийимеющихсяданных от прямойрегрессии:

15.1803992483777	7.69319511536507	5.65184678474214	0.929060620003659	-2.74697588437076	-5.56971364166513	-1.34664251825399	-3.40558552590376	3.84450875080244	6.024535447371
6.68021544884769	2.87566537149934	4.45916201865442	5.13571824955786	-1.67346851299683	0.55225091890577	4.83230056456327	-0.240106987952807	-5.79711892247662	-1.65960963866345
-5.81832115202078	-3.05879142493402	4.17543322148284	-3.29134973659658	-1.32767811582337	-1.99520044159931	-6.98919595084991	-0.844166923187427	-0.287216028830924	-1.43395768887411
-0.421461708068378	-6.98192485416478	2.73422581111747	0.763034293093572	-6.48599757504491	-3.22292770452086	-3.0571021088348	-1.63949073262982	-0.309995654309725	1.41312147312541
-9.58711575629829	-3.27818755099385	1.8307602174006	12.8888821627727	-1.69557328905632	3.70454314781532	-2.93739249325208	0.163674237751803	-1.9244299300759	-2.50583465100064

Проверим спомощью критерия«хи квадрат»гипотезу онормальномраспределениис нулевымматематическиможиданиемотклоненийимеющихсяданных от прямойрегрессии приуровне значимости0.05:

Найдем наибольшеепо абсолютнойвеличине отклонениеy_i от линиирегрессии:

Рассмотримгруппированнуювыборку, разделивотрезок [-_max,_max] на5 равных частей:

zi	zi+1	ni
-15.1803992483777	-9.10823954902661	1
-9.10823954902661	-3.03607984967554	12
-3.03607984967554	3.03607984967554	25
3.03607984967554	9.10823954902662	10
9.10823954902662	15.1803992483777	2

Вычислим шаг:

Вычислим выборочноесреднее поформуле

Вычислим выборочноесреднее квадратическоеотклонениепо формуле

Вычислимтеоретическиевероятностипопадания винтервалы (z_i,z_i+1)по формуле

_{Вычислимтеоретическиечастоты поформуле}

zi	zi+1	ni	Pi	fi	(ni- fi)2/ fi
-15.1803992	-9.10823954	1	0.02546995	0.02546995	0.02546995
-9.10823954	-3.03607984	12	0.23264461	0.23264461	0.23264461
-3.03607984	3.036079849	25	0.48256076	0.48256076	0.48256076
3.036079849	9.108239549	10	0.23264461	0.23264461	0.23264461
9.108239549	15.18039924	2	0.02546995	0.02546995	0.02546995

По таблицекритическихточек распределения«хи квадрат»,по заданномууровню значимости0.05 и числу степенейсвободы 3 находимкритическуюточку:

Гипотезу онормальномраспределениис нулевымматематическиможиданиемотклоненийимеющихсяданных от прямойрегрессии приуровне значимости0.05 не отвергаем.