Смекни!
smekni.com

Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна (стр. 1 из 5)

Содержание

1. Введение 3
1.1. Волны в природе 3
1.2. Открытие уединенной волны 4
1.3. Линейные и нелинейные волны 5
2. Уравнение Кортевега - де Фриса 8
2.1. Солитоны Кортевега - де Фриса 10
2.2. Групповой солитон 13
3. Постановка задачи 15
3.1. Описание модели 15
3.2. Постановка дифференциальной задачи. 15
4. Свойства уравнения Кортевега - де Фриза 16
4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ 16
4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ 17
5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ 19
5.1. Обозначения и постановка разностной задачи. 19
5.2. Явные разностные схемы (обзор) 21
5.3 Неявные разностные схемы (обзор). 23
6.Численное решение 25
7. Заключение 26
8. Литература 27

1. Введение

1.1. Волны в природе

Из школьного курса физики [1] хорошо извест­но, что если в какой-либо точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить ко­лебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом. При этом колебания, возбужденные в одном месте, рас­пространяются в пространстве с определенной ско­ростью. Волной принято называть процесс передачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от одной точки к другой.

Природа механизма распространения волны может быть различной. В простейшем случае связи между участками в среде могут быть обусловлены силами упругости, которые возникают из-за дефор­маций в среде. При этом в твердой упругой среде могут распространяться как продольные волны, при которых смещения частиц среды осуществля­ются в направлении распространения волны, так и поперечные волны, у которых смещения частиц перпендикулярны распространению волны. В жид­кости или газе в отличие от твердых тел нет сил со­противления сдвигу, поэтому могут распространять­ся только продольные волны. Хорошо известный пример продольных волн в природе — звуковые вол­ны, которые возникают из-за упругости воздуха.

Среди волн иной природы особое место занима­ют электромагнитные волны, передача возбужде­ний у которых происходит из-за колебаний элект­рического и магнитного полей. Среда, в которой распространяются электромагнитные волны, как правило, оказывает существенное влияние на про­цесс распространения волн, однако электромагнит­ные волны в отличие от упругих могут распростра­няться даже в пустоте. Связь между различными участками в пространстве при распространении та­ких волн обусловлена тем, что изменение электри­ческого поля вызывает появление магнитного поля и наоборот.

С явлениями распространения электромагнит­ных волн мы часто сталкиваемся в нашей повседнев­ной жизни. К этим явлениям относятся радиоволны, применение которых в технических приложениях общеизвестно. В этой связи можно упомянуть рабо­ту радио и телевидения, которая основана на прие­ме радиоволн. К электромагнитным явлениям, только в другом частотном диапазоне, относится также свет, с помощью которого мы видим окружа­ющие нас предметы.

Очень важным и интересным типом волн яв­ляются волны на поверхности воды. Это один из распространенных видов волн, который каждый наблюдал еще в детстве и который обычно демон­стрируется в рамках школьного курса физики. Од­нако, по выражению Ричарда Фейнмана [2], "более неудачного примера для демонстрации волн приду­мать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все труднос­ти, которые могут быть в волнах".

Если рассмотреть достаточно глубокий бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмуще­ния будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие этого явле­ния со временем и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по ок­ружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы смесь тех и других. С глубиной радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьша­ются до тех пор, пока они не станут равными нулю.

Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее длины. Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного паде­ния, умноженному на длину волны. Причиной воз­никновения таких волн является сила тяжести.

Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна кор­ню квадратному из частного, в числителе которого стоит коэффициент поверхностного натяжения, а в знаменателе — произведение длины волны на плот­ность воды. Для волн средней длины волны ско­рость их распространения зависит от перечислен­ных выше параметров задачи [2]. Из сказанного ясно, что волны на воде и в самом деле довольно сложное явление.

1.2. Открытие уединенной волны

Волны на воде издавна привлекали к себе вни­мание исследователей. Это связано с тем, что они представляют собой широко известное явление в природе и, кроме того, сопровождают перемещение судов по воде.

Любопытную волну на воде наблюдал шотланд­ский ученый Джон Скотт Рассел в 1834 году. Он за­нимался исследованием перемещения по каналу баржи, которую тянула пара лошадей. Неожиданно баржа остановилась, но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась, а собралась у носа судна, а затем оторвалась от него. Далее эта масса воды покатилась по каналу с большой скоро­стью в виде уединенного возвышения, не меняя своей формы и не снижая скорости.

На протяжении всей жизни Рассел неоднократ­но возвращался к наблюдению за этой волной, по­скольку верил, что открытая им уединенная волна играет важную роль во многих явлениях в природе. Он установил некоторые свойства этой волны. Во-первых, заметил, что она движется с постоянной скоростью и без изменения формы [3]. Во-вторых, нашел зависимость скорости С этой волны от глу­бины канала hи высоты волны а:

где gускорение свободного падения, причем a < h. В-третьих, Рассел обнаружил, что возможен распад одной большой волны на несколько волн. В-четвер­тых, он отметил, что в экспериментах наблюдаются только волны возвышения. Однажды он также обра­тил внимание, что открытые им уединенные волны проходят друг через друга без каких-либо измене­ний, как и малые волны, образованные на поверхно­сти воды. Однако на последнее очень важное свой­ство он не обратил существенного внимания.

Работа Рассела, опубликованная в 1844 году как "Доклад о волнах", вызвала осторожную реакцию в среде ученых. На континенте ее не заметили сов­сем, а в самой Англии на нее обратили внимание Г.Р. Эйри и Дж.Г. Стоке. Эйри подверг критике ре­зультаты экспериментов, которые наблюдал Рассел. Он отмечал, что из теории длинных волн на мелкой воде выводы Рассела не получаются, и утверждал, что длинные волны не могут сохранять неизменную форму. И в конечном итоге подверг сомнению пра­вильность наблюдений Рассела. Один из основате­лей современной гидродинамики, Джордж Габриэль Стоке, также не согласился с результатами наблюде­ний, полученными Расселом, и критически отнесся к факту существования уединенной волны.

После столь негативного отношения к откры­тию уединенной волны долгое время о ней просто не вспоминали. Определенную ясность в наблюде­ния Рассела внесли Дж. Буссинеск (1872 год) и Дж.У. Рэлей (1876 год), которые независимо друг от друга нашли аналитическую формулу для возвыше­ния свободной поверхности на воде в виде квадрата гиперболического секанса и вычислили скорость распространения уединенной волны на воде.

Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями и получили подтверждение.

1.3. Линейные и нелинейные волны

В качестве математических моделей при описа­нии распространения волн в различных средах час­то используют уравнения в частных производных. Это такие уравнения, которые содержат в качестве неизвестных производные от характеристик рассматриваемого явления. Причем поскольку ха­рактеристика (например, плотность воздуха при распространении звука) зависит от расстояния до источника и от времени, то и в уравнении использу­ются не одна, а две (а иногда и больше) производ­ные. Простое волновое уравнение имеет вид

utt=c2uxx(1.1)

Характеристика волны и в этом уравнении зависит от пространственной координаты х и времени t, а индексы у переменной и обозначают вторую произ­водную от и по времени (utt) и вторую производную от и по переменной x(uxx). Уравнение (1) описывает плоскую одномерную волну, аналогом которой мо­жет служить волна в струне. В этом уравнении в ка­честве и можно принять плотность воздуха, если речь идет, например, о звуковой волне в воздухе. Ес­ли рассматривают электромагнитные волны, то под и следует понимать напряженность электрического или магнитного поля.

Решение волнового уравнения (1), которое впервые было получено Ж. Д'Аламбером в 1748 го­ду, имеет вид

u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct) (1.2)

Здесь функции f и g находят из начальных условий для и. Уравнение (1.1) содержит вторую производную от и по t, поэтому для него следует задавать два на­чальных условия: значение и при t= 0 и производ­ную и, при t = 0.