Солитоны в воде (стр. 1 из 2)
Е. Н. Пелиновский
Кто из нас, сидя у воды и бросая в нее камешки, не любовался картиной разбегающихся волн! Но мало кто задумывался, почему высота волн быстро убывает с расстоянием r от места падения камня. Можно назвать сразу две главные причины, ведущие к такому ослаблению волн. Первая связана с расходимостью круговых волн: сохранение потока энергии ведет к падению амплитуды (высоты) волны по закону H~r-1/2. Другой эффект менее тривиален: скорость волн на воде зависит от их длины (у более длинных волн и скорость больше); в результате, как нам кажется, с расстоянием волны становятся более длинными. И хотя каждый, кто бросал камень в воду, наблюдал этот эффект, в школьных учебниках его традиционно описывают на примере разложения обычного света, проходящего через призму, на его цветовые составляющие (спектр).
И в том и в другом случае мы имеем дело с дисперсией волны, когда начальное возмущение, образуемое в месте бросания камня, "растаскивается" на спектральные компоненты. Каждая из волн бежит со своей скоростью, и вперед выходят более длинные. Этот эффект может быть пояснен на примере излюбленной школьной задачи, когда путешественники А и Б выходят из одного пункта с разными скоростями в одном направлении и расстояние между ними возрастает линейно со временем. Переходя теперь к большому числу таких путешественников, скорости которых различны, легко понять, что "плотность" путешественников (число людей на 1 м) падает с расстоянием от исходного пункта. Аналогичные оценки для волн, исходя из закона сохранения энергии, также приводят к зависимости H~r -1/2. Совместное воздействие этих двух причин ведет к суммарному ослаблению высоты волны (вследствие дисперсии и расходимости) по закону H~r-1. Благодаря быстрому ослаблению высоты волны происходит локализация возмущений на воде (иначе бы штормовые волны, зародившись в одном месте, оставались опасными для всего океана).
Однако это упрощенная картина, в которую не вошло достаточно много исключений. Например, гигантские морские волны, зародившиеся при землетрясении в Чили 22 мая 1960 г. (такие волны называют цунами), пересекли весь Тихий океан (примерно 17 тыс. км) и накатились на побережье Дальнего Востока, где высота их достигала 7 м.
Об эффектах, которые приводят к аномально долгому существованию волн на воде (и в воде), и будет рассказано в этой статье.
Нелинейность и солитоны
Какие же факторы способны воспрепятствовать быстрому ослаблению волнового поля? Во-первых, ограничение распространения волны только одной пространственной координатой, чтобы ликвидировать ее расходимость в виде круговых волн. Простейший пример - распространение волны в реке. В открытом океане естественными каналами (волноводами) служат подводные хребты и течения струйного типа (например, Гольфстрим). Роль таких волноводов была понята давно. Однако они не могут препятствовать эффектам дисперсии, и, следовательно, волна все равно ослабляется (хотя и не так быстро) и ее длина возрастает.
Другим фактором, о котором здесь нужно сказать, является нелинейность. Под этим понятием мы будем подразумевать зависимость скорости распространения волны от ее амплитуды. Во всех линейных моделях скорость распространения определяется характеристиками среды (например, для волн на воде максимальная скорость их распространения есть
где h - глубина бассейна и g - ускорение свободного падения), но не амплитудой волны. Между тем глубина водоема под различными частями волны различна: она увеличивается под гребнем и уменьшается под впадиной.
Вообще говоря, непонятно, почему в приведенную выше формулу для скорости волны не входит локальная глубина с учетом волнового движения. И действительно, более точные теории показывают, что скорость распространения волны зависит от локальной глубины. Но это означает, что гребень волны должен двигаться быстрее ее впадины и, следовательно, профиль волны будет искажаться: его передний фронт будет становиться все более крутым и в конце концов волна должна опрокинуться (каждый, кто купался в море, знает, как обрушиваются волны вблизи берега).
Теперь уже можно понять совместное влияние нелинейности и дисперсии на трансформацию волн. Рассмотрим, например, эволюцию гребня. Нелинейность в чистом виде, как мы уже описали, хочет, так сказать, привести к тому, чтобы передний фронт становился круче, и гребень стремится догнать подножие. Дисперсия же в чистом виде стремится растащить волну на ее спектральные компоненты, чтобы более короткие волны отставали от тех, которые длиннее. Следовательно, нелинейность, способствующая образованию более крутого фронта волны (с высокочастотными гармониками), и дисперсия, стремящаяся утащить короткие волны с крутого фронта, действуют в противоположных направлениях. Но тогда возможна их взаимная компенсация, и форма волны в процессе распространения будет неизменяющейся (стационарной).
Этот качественный анализ подтверждается решениями соответствующих уравнений:
Форма стационарной волны показана на рис.1. Как видим, волна представляет собой движущийся одиночный гребень, скорость и длина которого зависят от высоты волны. Н. Забуски и М. Крускал в 1965 г. назвали его солитоном (от англ. solitary wave - уединенная волна). Главная особенность солитонов заключается в неизменности их формы в процессе распространения, и, следовательно, такие волны могут распространяться на очень большие расстояния без потери своей энергии. Роль представлений о солитонах резко возросла, когда стало ясно, что если начальное возмущение имеет другую форму, то оно сбрасывает все лишнее в хвост и трансформируется в солитоны, число которых определяется законами сохранения (массы, энергии). Кроме того, солитоны сохраняют свою форму при взаимодействии с себе подобными.
Рис.1. Уединенная волна - солитон
Выше мы рассказали о солитонах на воде. Но в океане волны бегают не только на его поверхности. Океан не является однородным по вертикали, его температура и соленость зависят от глубины, а значит, и плотность морской воды не остается постоянной. Отсюда следует, что океан можно представить как совокупность многих поверхностей, разделяющих слои с разными плотностями. Каждая такая поверхность в принципе похожа на водную поверхность, где также происходит скачок плотности (от воды к воздуху), и, следовательно, по этим поверхностям могут также распространяться волны, получившие название внутренних. Поскольку скачок плотности внутри океана мал (по сравнению с морской поверхностью), то мала и архимедова сила, двигающая частицы воды в волне. В результате амплитуды волн могут достигать очень больших значений, отмечались волны в 100 м. Во внутренних волнах также должны быть солитоны, и мы активно занимаемся их исследованием и прогнозом.
Возбуждение солитонов бегущими внешними волнами
Важным фактором поддержания энергии волн служат внешние воздействия. Простейший пример - появление волн на воде, как только подует ветер. Картинка стационарных волн за кораблем в его следе также общеизвестна. Принимая во внимание постоянство скорости корабля, естественно было изучать сразу стационарную картину волн. К сожалению, это приводило к сложным численным расчетам и ничего не говорило об устойчивости получаемых картинок. Между тем солитон на воде был открыт еще 150 лет назад Дж. С. Расселом именно в ситуации, характерной для корабельных волн. Рассел наблюдал за баржей в узком канале, которую тянула пара лошадей, и увидел, что масса воды в момент торможения баржи не остановилась, а собралась у носа судна и затем ушла вперед, принимая форму описанного выше солитона. (Отметим, что физики несколько раз пытались повторить эксперимент с открытием солитона, и это удалось только в 1995 г. на том же самом месте в Великобритании.)
Австралийскому физику Р. Гримшоу и мне показалось интересным рассмотреть взаимодействие свободного солитона с внешним бегущим возмущением (баржей) во времени. При этом мы рассчитывали убить двух зайцев: во-первых, корабельные волны должны были получаться как некоторые стационарные состояния в математической модели и, во- вторых, проблема устойчивости волнового следа решалась бы автоматически в рамках более общей нестационарной теории. Сделанные оценки были перспективными, и мы активно поработали вместе над этой задачей, придумав упрощенную модель явления и получив ряд приближенных решений. Именно этой проблемой я и мои коллеги занялись в рамках еще первых поддержек от Фонда Сороса и продолжили в рамках гранта от Международного научного фонда.
Главная наша идея состоит в учете солитонного характера нелинейной волны. В этом случае волна описывается всего двумя параметрами: амплитудой (или скоростью) и координатой (местоположением), так что солитон, по существу, очень похож на классическую движущуюся частицу. Уравнение для такой частицы хорошо известно еще со средней школы и представляет собой второй закон Ньютона: ускорение частицы, умноженное на ее массу, равно внешней силе, действующей на частицу. В таких задачах, как известно, очень удобно описывать внешние воздействия в рамках потенциальных полей, и наглядным примером здесь служит движение шарика по криволинейной поверхности (рис.2): частица колеблется в потенциальной яме.
Рис.2. Колебания частицы в потенциальной яме
Остается понять, что происходит в нашем случае. Движущийся корабль выдавливает из-под себя воду - так образуется потенциальная яма, в которую "сваливается" солитон. Если солитон имеет ту же скорость, что и корабль, и находится непосредственно в яме, то он является стационарным и представляет собой нелинейную корабельную волну. Но это возможно только для солитона одной-единственной амплитуды. Если скорость солитона больше скорости корабля, то возможны два режима. При очень большой разнице в скоростях солитон обгонит корабль, практически не испытав взаимодействия. Когда же скорости близки, солитон сначала ускоряется, сваливаясь в яму, а затем опять тормозится, пытаясь выбраться из нее.