Смекни!
smekni.com

Подъем инвариантов классических групп (стр. 1 из 2)

А.Н. Зубков, Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры

Пусть G простая алгебраическая группа одного из трех классических типов - B, C, D, над алгебраически замкнутым полем K произвольной характеристики. Группа G=G(n) канонически вложена в GL(n) для подходящего n [8]. Рассмотрим диагональное действие группы G на

- m экземплярах пространства
матриц M(n) сопряжениями. Возникает интересная задача - описать кольцо инвариантов In,m=K[M(n)m]G(n) . В предлагаемой работе будет доказано, что имеет место естественный эпиморфизм
, который индуцирован каноническим отображением
, где
тогда и только тогда, когда
, или
(для симплектического случая определение другое, здесь зануляются все элементы вне "центрального"
-блока). На остальных местах отображение тождественно.

Все необходимые сведения о модулях с хорошей фильтрацией (кратко модули с ХФ), можно найти в [5].

Мы будем использовать идею доказательства теоремы 2 из [5]. Пусть

.

Cлучай B, D. Мы будем предполагать, что

. Подходящим образом изменяя базис, мы можем считать, что
. Более того, так как действие сопряжениями, то можно полагать даже, что
.

Пара аффинных G-многообразий

(G - произвольная редуктивная группа) называется хорошей, если K[W] и IV - G- модули с ХФ. Здесь IV - это идеал
. Пусть W=M(n), V= C(A)=CG(A), где
. Наша задача сейчас - показать, что
и, что
- хорошая пара.

Нетрудно проверить, что g-1Ag = En + (a-1)(xij), где xij = g1ig1j, g=(gij), En - единичная матрица. Обозначим через M(n)r множество матриц ранга

, а через S - подпространство симметрических матриц в M(n).

Лемма 1. Класс сопряженности V совпадает с

, где T - это множество всех матриц, удовлетворяющих условиям
.

Обозначим множество

через L

Доказательство. Легко проверить непосредственно, что M(n)1 совпадает с множеством матриц вида (xiyj), где

независимо пробегают все векторы из n-мерного векторного пространства E(n). Пусть
и лежит в
. Тогда xiyj = yixj. Найдутся xi0 и yj0 не равные нулю, ведь
. Тогда из xi0yj0 = yi0xj0 следует, что
. Далее, если xi =0, тогда xi0yi= yi0xi =0, то есть yi=0 и наоборот. Другими словами, xi =0 тогда и только тогда, когда yi =0. Более того, для ненулевых коэффициентов отношение xi/yi является константой. Обозначим ее t. Переходя к параметрам xi'=t-1/2xi=yi'=t1/2yi, можно предполагать, что xi=yi для всех i. Подставляя в уравнения определяющие T и используя то, что
, мы получим, что
. Достроим cистему из одного вектора x до ортонормированного базиса пространства E(n) и расположим векторы этого базиса столбцами (причем x - первый) в матрице g. Ясно, что
, и g-1Ag = En + (a-1)z. Таким образом,
. Обратное включение очевидно.

Поскольку

, то мы можем воспользоваться леммой 1 (
) [7] и заключить, что
, если докажем, что
нормальное многообразие. Cдвиг и умножение на (ненулевой) скаляр - гомеоморфизмы, поэтому достаточно показать, что нормально L. Пусть Sn - единичная сфера в E(n). Из сказанного выше ясно, что отображение из Sn в L по правилу
является доминантным. В частности, мы имеем вложение
. Образ этого вложения порожден элементами xixj. Алгебра
имеет градуировку
, где R0 - подпространство, натянутое на мономы четной степени, а R1 - нечетной. Элемент
однороден относительно этой градуировки, поэтому
"наследует" градуировку R. Будем обозначать ее теми же символами. Заметим еще, что K[L]=R0. Ранг якобиана
равен 1 по крайней мере на
, и
. По критерию Серра ([6]
, теорема 5.8.6), K[Sn] нормально (
). Пусть теперь
- целый над R0. Так как
, то
и
. Следовательно,
, то есть
, откуда z1=0.

Согласно предложению 6.7 [2], чтобы доказать, что

(
отождествляется с
, где ZG(A) - централизатор элемента A, достаточно проверить, что дифференциал
сюръективен. Однако
. Используя формализм с двойными числами [8], имеем:
. Таким образом,
. Отсюда ясно, что образ
имеет ту же размерность n-1. Итак,
. Отметим еще для дальнейшего, что ZG(A) состоит из матриц, у которых правый "нижний"
-угол - это произвольная матрица из G(n-1), а в первом столбце и первой строке везде стоят нули, кроме начала, где коэффициент равен
.

По тем же соображениям, что и выше, осталось показать, что (M(n), L) - хорошая пара. Согласно лемме 1.3(a) [4], можно рассмотреть "башню"

и проверить каждый "скачок". Рассмотрим сначала
. Мы имеем коммутативную (все морфизмы G-эквивариантны) диаграмму:

где вертикальные стрелки - это просто включения. Переходя к координатным алгебрам, мы получим "дуальную" диаграмму:

В первой диаграмме горизонтальные стрелки - G-доминантные морфизмы, поэтому во второй - вложения. Отсюда ясно, что

можно отождествить с
(в принятых выше обозначениях). Здесь I - идеал, порожденный элементом f. Из тех же градуировочных соображений ясно, что
. Осталось отметить, что f G-инвариант и, следовательно, G-модуль
изоморфен R0. То, что R0 с ХФ, будет следовать из того, что
- хорошая пара.