Теорема вириала в преподавании физики и астрономии (стр. 1 из 3)

А. И. Иванов, Л. П. Казанцева

Работа выполнена в предвидении изменения срока и содержания обучения в средней школе. В работе предлагается включить в программу обучения теорему вириала, что будет способствовать усилению связи в преподавании физики и астрономии, генерализации естественнонаучных знаний на основе общих закономерностей. Авторы приглашают к обсуждению целесообразности и возможности включения излагаемого фрагмента в содержание обучения физике и астрономии.

1. Теорема вириала утверждает, что для системы взаимодействующих частиц, находящихся в состоянии динамического равновесия, в том случае, когда все силы, действующие на частицы, являются внутренними по отношению к системе и обратно пропорциональны квадрату расстояния, средняя кинетическая энергия частиц равна половине среднего значения потенциальной энергии системы взаимодействующих тел, взятой с обратным знаком [1], т.е. выполняется равенство

. . . . . . . . . . (1)

Потенциальная энергия взаимодействия тел в гравитационном поле также, как энергия взаимодействия электрических зарядов, является отрицательной [2], в отличие от кинетической, которая является всегда величиной положительной.

Строгое доказательство теоремы вириала достаточно сложно и связано с анализом дифференциальных уравнений, поэтому в условиях средней школы приходится иллюстрировать её на простых примерах.

Пусть искусственный спутник массой m движется со скоростью

по замкнутой траектории на среднем расстоянии

от центра Земли, имеющей массу

. Кинетическая энергия спутника равна

а его потенциальная энергия

= -

где

- гравитационная постоянная.

При движении спутника в гравитационном поле Земли на него действует центростремительная сила

Центростремительной силой, удерживающей спутник около Земли, является сила тяготения, обусловленная гравитационным взаимодействием между Землёй и спутником. По абсолютной величине она равна:

Следовательно, имеет место равенство

. . . . . . . . . . . .(2)

Умножив обе части этого равенства на

, получим

. . . . . . . . . . . (3)

Таким образом, для энергетического состояния системы "Земля - спутник" справедлива теорема вириала.

В работе [3] применена теорема вириала при исследовании энергетического состояния лёгких атомов и их ионов. Результаты вычисления при этом хорошо согласуются с экспериментальными данными.

2. "Висячий" спутник Земли.

Для осуществления устойчивой межконтинентальной радио- и телевизионной связи в настоящее время широко используется искусственный спутник Земли.

Поставим себе задачу: на какую высоту

следует "забросить" над экватором искусственный спутник Земли, чтобы он неподвижно висел для наблюдателя, находящегося на Земле? Конечно, в этом случае спутник и точка его запуска на экваторе должны двигаться в пространстве с одинаковой угловой скоростью.

Теорема вириала в этом случае будет иметь вид

где: m - масса спутника,

- масса Земли, равная

- гравитационная постоянная

- расстояние от центра Земли до спутника,

- экваториальный радиус Земли, равный 6378 км.

Из теоремы вириала следует

При этом v

- квадрат линейной скорости спутника.

Следовательно,

Подставив в полученную формулу числовые значения величин, получим

Расстояние

от поверхности Земли до спутника оказывается равным

На такую высоту надо поднять искусственный спутник над экватором. Это расстояние велико, но много меньше расстояния от Земли до Луны. Поэтому силой гравитационного взаимодействия между спутником и Луной можно пренебречь по сравнению с силой взаимодействия между спутником и Землёй. Следовательно, система Земля и её искусственный спутник представляет собой замкнутую систему и применение к ней теоремы вириала допустимо.

Представляет не меньший интерес определение положения искусственного спутника над любой точкой поверхности Земного шара. Подобные задачи можно предложить учащимся для самостоятельного решения и сравнения с действительными данными, что будет содействовать развитию творческих способностей обучаемых.

3. Применение теоремы вириала к анализу энергетического состояния звёзд. В современном понимании учёных-физиков звезда представляет собой громадный газовый шар. Под действием гравитационных сил взаимодействия газ уплотняется, температура его при этом увеличивается, и вследствие этого роста увеличивается кинетическая энергия частиц. Электроны атома отрываются от поля ядра, образуются свободные электроны и ионы водорода [4]. Некоторая часть протонов объединяется по четыре, образуя ионы гелия. Молекулярная масса иона водорода равна 0,5 атомных единиц, а для иона гелия она равна 2. С.А. Каплан считает [5] обоснованным предположение, что в звёздных образованиях в средней ступени эволюции, в которой находится в настоящее время наше Солнце, среднее значение молекулярной массы частиц равно 0,6 или, что то же самое,

атомных единиц. Следовательно, среднее значение потенциальной энергии так называемой водородной или "холодной" звезды оказывается равным

. . . . . . . . . . . . (4)

Из курса физики учащимся известно, что кинетическая энергия частицы газового шара равна

, . . . . . . . . . . . . (5)

где

- постоянная Больцмана.

Число всех частиц звёздного вещества (электронов и ионов) обозначим символом

. Тогда, считая плотность звёздного вещества одинаковой по всему объёму, кинетическую энергию частиц звёздного образования выразим следующим образом:

. . . . . . . . . . .(6)

Подставив известные значения потенциальной и кинетической энергий в формулу теоремы вириала, получим зависимость между радиусом и температурой звезды