регистрация /  вход

Применение свойств функций для решения уравнений (стр. 1 из 2)

Применение свойств функций для решения уравнений

Т.С. Кармакова, доцент кафедры алгебры ХГПУ

В предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений, основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее значение. Используя предлагаемые автором задачи и методы их решения, учитель сможет сформировать у учащихся более широкий взгляд на область применения различных этих свойств. Ведь не секрет, что в стандартном курсе школьной математики свойства функций применяются в основном для построения их графиков.

В соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99), все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений:

Разложение на множители,

Замена переменных,

Использование свойств функций.

Рассмотрим на конкретных примерах сущность третьего метода. Этот метод применяется тогда, когда уравнение F(x)=G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения. Продемонстрируем использование некоторых свойств функций к решению уравнений указанного выше вида в случае, когда F(x) и G(x) - любые элементарные функции.

Использование области определения и области значения функций

Решить уравнение

Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения функции

. Областью определения этой функции (в соответствии с определением степени с рациональным показателем) является множество положительных действительных чисел.

Ответ: x>0.

Решить уравнение sinxctgx=cosx.

Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения уравнения. Область определения уравнения – это общая часть областей определения функций, входящих в уравнение. Следовательно, множество решений уравнения – множество всех действительных чисел, кроме x=kp, где kÎZ.

Ответ: x¹kp, где kÎZ.

Решить уравнение

.

Решение: У этого уравнения нет корней, так как область значений функции

при x³1 есть множество неотрицательных чисел, а функция
при всех x принимает отрицательные значения.

Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Ответы: а) x>0, x¹1; б) êxê£1; в) x¹0; г) x³0; д) Нет корней; е) x¹0.

Использование экстремальных значений функций

Сущность этого способа решения уравнений в том, что оцениваются правая и левая части уравнения F(x)=G(x) и, если одна из функций принимает значение не меньше некоторого числа А, а другая – не больше этого же числа А, то данное уравнение заменяется системой уравнений:

Этот способ может быть применен к решению следующих уравнений:

в обеих частях уравнения стоят функции разного вида;

в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу;

в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число.

Рассмотрим конкретные примеры.

2.1 Решить уравнение

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а)

, так как
, а
;

б)

, так как
.

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство:

Ответ: х=-2.

2.2 Решить уравнение

Решение: левая часть уравнения не больше двух, а правая – не меньше двух, следовательно, данное уравнение равносильно системе:

Второе уравнение в этой системе имеет единственный корень х=0. Подставляя найденное значение х в первое уравнение, получаем верное числовое равенство.

Ответ: х=0.

2.3 Решить уравнение

Решение: Оценим левую часть уравнения:

, следовательно,
. Получили, что в данном уравнении левая часть не больше восьми, а правая часть равна девяти при всех действительных значениях переменной х, поэтому данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

2.4 Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Ответы: а) p; б) 0; в) 0; г) 0.5; д) 1; е) нет корней.

Использование монотонности функций

Этот способ основан на следующих теоретических фактах:

Если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет единственное решение, либо вообще не имеет решений;

Если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней.

Сущность этого способа состоит в том, исследуются на монотонность левая и правая части уравнения и, если оказывается, что функции удовлетворяют какому - либо из приведенных условий, то найденное подбором решение будет единственным корнем уравнения.

Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений:

уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида;

уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции;

уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.

Рассмотрим примеры.

3.1 Решить уравнение

Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции

. Первая из них –убывающая (так как это - логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения.

Ответ: х=3.

3.2 Решить уравнение

Решение: Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции, образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней нет. Сначала рассмотрим

. Исследуем ее на монотонность с помощью производной:
. Решаем биквадратное уравнение

,

,

поэтому

при всех значениях хÎR., следовательно, функция f(x)- возрастающая.

Теперь исследуем функцию

. Как легко установить, она убывает при всех значениях хÎR. Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень данного уравнения.

Ответ: х=2

3.3 Решить уравнение

Видео