Целая и дробная части действительного числа (стр. 1 из 2)

.

Т.С. Кармакова, доцент кафедры алгебры ХГПУ

В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других вопросах математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа.

В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9 класса [1] отведено всего 34 строки. Рассмотрим более подробно эту тему.

Определение 1

Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х.

Целая часть числа обозначается символом [х ] и читается так: “целая часть х” или: “целая часть от х ”. Иногда целая часть числа обозначается Е(х) и читается так: “антье х ” или “ антье от х ”. Второе название происходит от французского слова entiere – целый.

Пример.

Вычислить [x], если х принимает значения:

1,5; 3; -1.3; -4.

Решение

Из определения [x] следует:

[1,5] = 1, т.к. 1

Z, 1 1,5

[ 3 ] = 3, т.к. 3

Z, 3 3

[-1,3]=-2, т.к. –2

Z, -2 -1,3

[-4] =-4, т.к. -4

Z, -4 -4.

Свойства целой части действительного числа.

1°. [ x ] = x , если х

Z

2°. [ x ]

x  [ x ] + 1

3°. [ x + m ] = [ x ] + m , где m

Z

Рассмотрим примеры использования этого понятия в различных задачах.

Пример 1

Решить уравнения:

1.1[ x ] = 3

[ x + 1,3 ] = - 5

[ x + 1 ] + [ x – 2] – [x + 3 ] = 5

1.4 [ x ]

- 7 [ x ] + 10 = 0

Решение

1.1 [ x ] = 3. По свойству 2° данное уравнение равносильно неравенству 3

х  4

Ответ : [ 3 ; 4 )

[ x + 1,3 ] = - 5. По свойству 2° :

- 5

х + 1,3  - 4 - 6,3 х  - 5,3

Ответ : [ -6,3 ; -5,3 )

[ x + 1 ] + [ x – 2 ] – [ x + 3 ] = 5. По свойству 3°:

[ x ] + 1 + [ x ] – 2 – [ x ] – 3 = 5

[ x ] = 9 9 x  10 (по 2° )

Ответ : [ 9 ; 10 )

1.4 [ x ]

- 7 [ x ] + 10 = 0 Пусть [ x ] = t , тогда t - 7 t + 10 = 0 , т.е.

Ответ : [ 2 ; 3 )

[ 5 ; 6)

Пример 2.

Решить неравенства:

2.1 [ x ]

2

[ x ] > 2

[ x ]

2

[ x ] < 2

[ x ]

- 8 [ x ] + 15 0

Решение

2.1 Согласно определению [ x ] и 1°, этому неравенству удовлетворяют х

Ответ : [ 2 ;

).

2.2 Решение этого неравенства: х

.

Ответ : [ 3 ;

).

2.3 x < 3

2.4 x < 2

2.5 Пусть [ x ] = t , тогда данное неравенство равносильно системе

3

Ответ : [ 3; 6 ).

2.6 Пусть [ x ] = t , тогда получим .

Ответ : (-

.

Пример 4.

Постройте график функции y = [ x ]

Решение

1). ООФ: х

R

2). МЗФ: y

Z

3). Т.к. при х О [ m ; m + 1), где m О Z , [ x ] = m, то и y = m, т.е. график представляет совокупность бесконечного множества горизонтальных отрезков, из которых исключены их правые концы. Например, х О [ -1 ; 0 ) Ю [ x ] = -1 Ю y = - 1 ; x О [ 0; 1) Ю [ x ] = 0 Ю y = 0.

Примечание.

1. Имеем пример функции, которая задается разными аналитическими выражениями на разных участках.

2. Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.

Определение 2.

Дробной частью действительного числа х называется разность х – [ x ]. Дробная часть числа х обозначается символом { x }.

Пример.

Вычислить { x }, если х принимает значение : 2,37 ; -4

; 3,14 . . .; 5 .

Решение

{ 2,37 } = 0,37 , т.к. { 2,37 } = 2,37- [ 2,37 ] = 2,37 – 2 = 0,37.

, т.к.

{ 3,14…} = 0,14… , т.к.

{ 3,14…} = 3,14…-[ 3,14…] = 3,14…-3= 0,14…

{ 5 } = 0 , т.к. { 5 } = 5 – [ 5 ] = 5 – 5 = 0.

Свойства дробной части действительного числа.

1°. { x } = x – [ x ]

2°. 0

{ x } < 1

3°. { x + m } = { x }, где m О Z

4°. { x } = x , если х О [ 0 ; 1)

5° Если { x } = а , a О [ 0 ; 1), то х =а +m, где m О Z

6°. { x } = 0 , если х О Z.

Рассмотрим примеры применения понятия { x } в различных упражнениях.

Пример 1.

Решить уравнения:

1.1 { x } = 0,1

1.2 { x } = -0,7

{ x } = 2,5

{ x + 3 } = 3,2

{ x }

- { x } +

Решение

По 5° решением будет множество

х = 0,1 + m , m О Z

1.2 По 2° уравнение не имеет корней, х ОЖ

1.3 По 2° уравнение не имеет корней, х ОЖ

По 3° уравнение равносильно уравнению

{ x }+ 3 = 3,2 Ю { x } = 0,2 Ю x = 0,2 + m , m О Z

1.5 Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Ответ: х =

х

=

Пример 2.

Решить неравенства:

2.1 { x }

0,4

2.2 { x }

0

{ x + 4 } < 4,7

{ x }

-0,7 { x } + 0,2 > 0

Решение

2.1 По 5° : 0,4 + m

x < 1 + m, где m О Z

2.2 По 1° : х О R

По 3° : {x } + 4 < 4,7 Ю { x }< 0,7.

По 5° : m < x < 0,7 + m , m О Z

2.4 Так как { x }

0, то { x } - 1 > 0, следовательно, получим 2 { x } + 1 < Ю Ю { x } < 1 Ю x О R

2.5 Решим соответствующее квадратное уравнение:

{ x }

- 0,7 { x } + 0,2 = 0 Ю Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: